Номер 656, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 656, страница 114.

Условие.

656. Представьте многочлен в виде суммы или разности квадратов двух вы-ражений:

1) $a^4 + 17a^2 + 16;$

2) $x^2 + y^2 - 10x + 14y + 74;$

3) $2x^2 - 6xy + 9y^2 - 6x + 9;$

4) $x^2 - y^2 - 4x - 2y + 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы представить многочлен $a^4 + 17a^2 + 16$ в виде суммы квадратов, воспользуемся методом выделения полного квадрата. Заметим, что $a^4 = (a^2)^2$ и $16 = 4^2$. Формула квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$. Если $x=a^2$ и $y=4$, то удвоенное произведение $2xy$ будет равно $2 \cdot a^2 \cdot 4 = 8a^2$. Представим средний член $17a^2$ как сумму $8a^2 + 9a^2$. Тогда выражение примет вид:$a^4 + 8a^2 + 16 + 9a^2$. Сгруппировав первые три члена, получим полный квадрат:$(a^4 + 8a^2 + 16) + 9a^2 = (a^2+4)^2 + 9a^2$. Так как $9a^2 = (3a)^2$, окончательно получаем сумму двух квадратов: $(a^2 + 4)^2 + (3a)^2$.
Ответ: $(a^2 + 4)^2 + (3a)^2$.

2) В многочлене $x^2 + y^2 - 10x + 14y + 74$ необходимо выделить полные квадраты отдельно для переменных $x$ и $y$. Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 10x) + (y^2 + 14y) + 74$. Для выделения полного квадрата из выражения $x^2 - 10x$ нужно добавить $(\frac{10}{2})^2=5^2=25$. Получим $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$. Для выражения $y^2 + 14y$ нужно добавить $(\frac{14}{2})^2=7^2=49$. Получим $y^2 + 14y + 49 = (y + 7)^2$. Заметим, что свободный член $74$ как раз равен сумме добавленных нами чисел: $25+49=74$. Таким образом, исходный многочлен можно переписать в виде:$(x^2 - 10x + 25) + (y^2 + 14y + 49) = (x - 5)^2 + (y + 7)^2$.
Ответ: $(x - 5)^2 + (y + 7)^2$.

3) Чтобы представить многочлен $2x^2 - 6xy + 9y^2 - 6x + 9$, разобьем член $2x^2$ на сумму $x^2+x^2$ и перегруппируем слагаемые следующим образом:$(x^2 - 6xy + 9y^2) + (x^2 - 6x + 9)$. Каждая из групп в скобках представляет собой формулу квадрата разности. Первая группа: $x^2 - 6xy + 9y^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (3y) + (3y)^2 = (x - 3y)^2$. Вторая группа: $x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x - 3)^2$. Таким образом, исходный многочлен равен сумме этих двух квадратов: $(x - 3y)^2 + (x - 3)^2$.
Ответ: $(x - 3y)^2 + (x - 3)^2$.

4) Для многочлена $x^2 - y^2 - 4x - 2y + 3$ выделим полные квадраты для переменных $x$ и $y$. Перегруппируем слагаемые:$(x^2 - 4x) - (y^2 + 2y) + 3$. Выделим полный квадрат для первой скобки, прибавив и отняв 4:$(x^2 - 4x + 4) - 4 = (x-2)^2 - 4$. Выделим полный квадрат для второй скобки, вынеся минус и прибавив и отняв 1 внутри скобки:$-(y^2 + 2y) = -(y^2 + 2y + 1 - 1) = -((y+1)^2 - 1) = -(y+1)^2 + 1$. Подставим полученные выражения в исходное:$(x-2)^2 - 4 - (y+1)^2 + 1 + 3$. Упростив числовые слагаемые $(-4+1+3=0)$, получаем разность квадратов: $(x - 2)^2 - (y + 1)^2$.
Ответ: $(x - 2)^2 - (y + 1)^2$.