Номер 663, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 663, страница 114.

Условие.

663. Найдите стороны прямоугольника, имеющего наибольшую площадь из всех прямоугольников, периметр каждого из которых равен 20 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ находится по формуле $P = 2(a + b)$. Согласно условию задачи, $P = 20$ см.
$2(a + b) = 20$
$a + b = 10$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Нам необходимо найти такое значение сторон $a$ и $b$, при котором площадь $S$ будет наибольшей.

Из уравнения для периметра выразим одну сторону через другую, например, $b = 10 - a$.

Подставим это выражение в формулу площади, чтобы получить зависимость площади от одной переменной $a$:
$S(a) = a \cdot (10 - a) = 10a - a^2$

Полученная функция $S(a) = -a^2 + 10a$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $a^2$ отрицателен (равен -1). Наибольшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Координату вершины параболы по оси абсцисс (в нашем случае это $a$) можно найти по формуле $a_{вершина} = -\frac{k}{2m}$, где $m$ и $k$ - коэффициенты уравнения $my^2+ky+l$.
Для нашей функции $S(a) = -1a^2 + 10a$ коэффициенты равны $m = -1$ и $k = 10$.
$a = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = -\frac{10}{-2} = 5$

Таким образом, одна из сторон прямоугольника, при которой площадь максимальна, равна 5 см.
Найдем вторую сторону:
$b = 10 - a = 10 - 5 = 5$ см.

Следовательно, прямоугольник с наибольшей площадью при заданном периметре — это квадрат.

Ответ: стороны прямоугольника равны 5 см и 5 см.