Номер 670, страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 670, страница 115.

Условие.

670. (Старинная болгарская задача.) Семь рыбаков ловили на озере рыбу. Первый ловил рыбу ежедневно, второй – через день, третий – через 2 дня и т. д., седьмой – через 6 дней. Сегодня все рыбаки пришли на озеро. Через какое наименьшее количество дней все семь рыбаков соберутся вместе на озере?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения этой задачи нам нужно определить, с какой периодичностью каждый рыбак приходит на озеро, и затем найти наименьшее общее кратное (НОК) этих периодов. Предположим, что "сегодня" — это день 0, когда все рыбаки собрались вместе.

Определим периодичность для каждого рыбака:

• Первый рыбак ловил рыбу ежедневно. Его период составляет 1 день.
• Второй — через день. Это означает, что он приходит на день 0, день 2, день 4 и так далее. Его период — 2 дня.
• Третий — через 2 дня. Он приходит на день 0, день 3, день 6 и так далее. Его период — 3 дня.
• Четвертый — через 3 дня. Его период — 4 дня.
• Пятый — через 4 дня. Его период — 5 дней.
• Шестой — через 5 дней. Его период — 6 дней.
• Седьмой — через 6 дней. Его период — 7 дней.

Таким образом, нам нужно найти наименьшее число дней, которое будет делиться без остатка на 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Это и есть наименьшее общее кратное этих чисел: НОК(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

Для нахождения НОК разложим числа на простые множители:

• $1$
• $2 = 2$
• $3 = 3$
• $4 = 2^2$
• $5 = 5$
• $6 = 2 \cdot 3$
• $7 = 7$

Теперь возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях:

• Для множителя 2 — это $2^2$ (из разложения числа 4).
• Для множителя 3 — это $3$ (из разложения чисел 3 и 6).
• Для множителя 5 — это $5$ (из разложения числа 5).
• Для множителя 7 — это $7$ (из разложения числа 7).

Перемножим эти множители, чтобы найти НОК:

НОК(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 12 \cdot 35 = 420$.

Следовательно, все семь рыбаков снова соберутся вместе на озере через 420 дней.

Ответ: Через 420 дней.