Номер 665, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 665, страница 114.

Условие.

665. Числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что $a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0$. Чему равно значение выражения $a + b - 2c$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Нам дано равенство $a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0$.

Для решения этой задачи преобразуем данное выражение. Умножим обе части равенства на 2:

$2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) = 2 \cdot 0$

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0$

Теперь сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы можно было выделить полные квадраты разностей:

$(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ac + c^2) + (b^2 - 2bc + c^2) = 0$

Каждая скобка представляет собой формулу квадрата разности:

$(a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2 = 0$

Мы получили сумму трех квадратов. Квадрат любого действительного числа — неотрицательная величина, то есть $(a-b)^2 \ge 0$, $(a-c)^2 \ge 0$ и $(b-c)^2 \ge 0$. Сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю.

Отсюда следует, что:

$(a-b)^2 = 0 \implies a - b = 0 \implies a = b$

$(a-c)^2 = 0 \implies a - c = 0 \implies a = c$

$(b-c)^2 = 0 \implies b - c = 0 \implies b = c$

Таким образом, мы приходим к выводу, что $a = b = c$.

Теперь необходимо найти значение выражения $a + b - 2c$. Подставим в него полученные соотношения, заменив $a$ и $b$ на $c$:

$a + b - 2c = c + c - 2c = 2c - 2c = 0$

Ответ: 0