Номер 658, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 658, страница 114.

Условие.

658. Существуют ли такие значения x и y, при которых равно нулю значение многочлена:

1) $x^2 + 4y^2 + 2x - 4y + 2$;

2) $9x^2 + y^2 - 12x + 8y + 21?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $x^2 + 4y^2 + 2x - 4y + 2$

Чтобы определить, существуют ли такие значения $x$ и $y$, при которых значение многочлена равно нулю, приравняем многочлен к нулю и попробуем найти решение.

$x^2 + 4y^2 + 2x - 4y + 2 = 0$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и с переменной $y$ и выделим полные квадраты:

$(x^2 + 2x) + (4y^2 - 4y) + 2 = 0$

Для выделения полного квадрата из выражения $x^2 + 2x$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a=x$, $2ab=2x$, значит $b=1$. Добавим и вычтем $b^2=1^2=1$:

$x^2 + 2x + 1 - 1 = (x+1)^2 - 1$

Для выражения $4y^2 - 4y$ воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a^2=(2y)^2$, $2ab=4y$, значит $a=2y$ и $b=1$. Добавим и вычтем $b^2=1^2=1$:

$4y^2 - 4y + 1 - 1 = (2y-1)^2 - 1$

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$((x+1)^2 - 1) + ((2y-1)^2 - 1) + 2 = 0$

$(x+1)^2 + (2y-1)^2 - 1 - 1 + 2 = 0$

$(x+1)^2 + (2y-1)^2 = 0$

Сумма квадратов двух действительных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, т.е. $(x+1)^2 \ge 0$ и $(2y-1)^2 \ge 0$.

Следовательно, равенство возможно только при одновременном выполнении условий:

$\begin{cases} (x+1)^2 = 0 \\ (2y-1)^2 = 0 \end{cases}$

Отсюда получаем:

$\begin{cases} x+1 = 0 \\ 2y-1 = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x = -1 \\ y = \frac{1}{2} \end{cases}$

Таким образом, существуют значения $x$ и $y$, при которых многочлен равен нулю.

Ответ: да, существуют. Например, при $x = -1$ и $y = \frac{1}{2}$.

2) $9x^2 + y^2 - 12x + 8y + 21$

Приравняем многочлен к нулю и преобразуем его, выделив полные квадраты, аналогично предыдущему пункту.

$9x^2 + y^2 - 12x + 8y + 21 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(9x^2 - 12x) + (y^2 + 8y) + 21 = 0$

Выделим полный квадрат для выражения с $x$: $9x^2 - 12x = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 2$. Добавим и вычтем $2^2=4$.

$9x^2 - 12x + 4 - 4 = (3x-2)^2 - 4$

Выделим полный квадрат для выражения с $y$: $y^2 + 8y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 4$. Добавим и вычтем $4^2=16$.

$y^2 + 8y + 16 - 16 = (y+4)^2 - 16$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$((3x-2)^2 - 4) + ((y+4)^2 - 16) + 21 = 0$

$(3x-2)^2 + (y+4)^2 - 4 - 16 + 21 = 0$

$(3x-2)^2 + (y+4)^2 + 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$(3x-2)^2 + (y+4)^2 = -1$

Выражения $(3x-2)^2$ и $(y+4)^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому их значения всегда неотрицательны, то есть $(3x-2)^2 \ge 0$ и $(y+4)^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел также всегда неотрицательна:

$(3x-2)^2 + (y+4)^2 \ge 0$

Полученное уравнение $(3x-2)^2 + (y+4)^2 = -1$ не имеет решений в действительных числах, так как неотрицательное число (сумма квадратов) не может быть равно отрицательному числу -1.

Следовательно, не существует таких значений $x$ и $y$, при которых значение данного многочлена равно нулю.

Ответ: нет, не существуют.