Номер 655, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 655, страница 114.

Условие.

655. Разложите на множители многочлен, предварительно представив его в виде разности квадратов двух выражений:

1) $a^4 + a^2 + 1;$

2) $x^2 - y^2 + 4x - 4y;$

3) $a^2b^2 + 2ab - c^2 - 8c - 15;$

4) $8a^2 - 12a + 2ab - b^2 + 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $a^4 + a^2 + 1$
Чтобы представить многочлен в виде разности квадратов, дополним его до полного квадрата, выделив слагаемые $a^4 = (a^2)^2$ и $1 = 1^2$. Для полного квадрата суммы $(a^2+1)^2$ не хватает удвоенного произведения, которое равно $2a^2$.
Представим член $a^2$ в виде $2a^2 - a^2$:
$a^4 + a^2 + 1 = a^4 + 2a^2 - a^2 + 1$
Сгруппируем первые три слагаемых, чтобы получить полный квадрат:
$(a^4 + 2a^2 + 1) - a^2 = (a^2+1)^2 - a^2$
Теперь мы имеем разность квадратов двух выражений: $(a^2+1)$ и $a$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$(a^2+1)^2 - a^2 = ((a^2 + 1) - a)((a^2 + 1) + a) = (a^2 - a + 1)(a^2 + a + 1)$
Ответ: $(a^2 - a + 1)(a^2 + a + 1)$

2) $x^2 - y^2 + 4x - 4y$
Перегруппируем слагаемые, чтобы собрать вместе члены с $x$ и члены с $y$ для выделения полных квадратов:
$(x^2 + 4x) - (y^2 + 4y)$
Дополним каждое выражение в скобках до полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем $(4/2)^2 = 4$ в каждой группе:
$(x^2 + 4x + 4 - 4) - (y^2 + 4y + 4 - 4)$
Свернем полные квадраты в скобках:
$((x+2)^2 - 4) - ((y+2)^2 - 4)$
Раскроем скобки:
$(x+2)^2 - 4 - (y+2)^2 + 4 = (x+2)^2 - (y+2)^2$
Мы получили разность квадратов двух выражений: $(x+2)$ и $(y+2)$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$((x+2) - (y+2))((x+2) + (y+2)) = (x+2-y-2)(x+2+y+2) = (x-y)(x+y+4)$
Ответ: $(x - y)(x + y + 4)$

3) $a^2b^2 + 2ab - c^2 - 8c - 15$
Сгруппируем слагаемые так, чтобы можно было выделить полные квадраты. Одна группа будет содержать $a$ и $b$, другая – $c$.
$(a^2b^2 + 2ab) - (c^2 + 8c) - 15$
Чтобы получить полный квадрат из первой группы, нужно добавить 1: $(a^2b^2 + 2ab + 1) = (ab+1)^2$.
Чтобы получить полный квадрат из второй группы, нужно добавить 16: $(c^2 + 8c + 16) = (c+4)^2$.
Представим число $-15$ как $+1 - 16$:
$a^2b^2 + 2ab + 1 - c^2 - 8c - 16$
Сгруппируем слагаемые:
$(a^2b^2 + 2ab + 1) - (c^2 + 8c + 16)$
Теперь каждая скобка является полным квадратом:
$(ab+1)^2 - (c+4)^2$
Это разность квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$((ab+1) - (c+4))((ab+1) + (c+4)) = (ab+1-c-4)(ab+1+c+4) = (ab-c-3)(ab+c+5)$
Ответ: $(ab - c - 3)(ab + c + 5)$

4) $8a^2 - 12a + 2ab - b^2 + 4$
Для представления в виде разности квадратов необходимо найти два полных квадрата. Слагаемые $-b^2$ и $2ab$ намекают на квадрат разности, в котором $b$ будет вычитаемым. Попробуем выделить квадрат вида $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Для этого нам нужен член $-a^2$.
Представим $8a^2$ как $9a^2 - a^2$. Тогда выражение примет вид:
$9a^2 - a^2 - 12a + 2ab - b^2 + 4$
Теперь сгруппируем слагаемые для формирования двух полных квадратов:
$(9a^2 - 12a + 4) + (-a^2 + 2ab - b^2)$
Вынесем минус из второй скобки:
$(9a^2 - 12a + 4) - (a^2 - 2ab + b^2)$
Первая скобка является полным квадратом $(3a-2)^2$, так как $(3a)^2 - 2(3a)(2) + 2^2 = 9a^2 - 12a + 4$.
Вторая скобка является полным квадратом $(a-b)^2$.
Таким образом, мы получаем разность квадратов:
$(3a-2)^2 - (a-b)^2$
Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$((3a-2) - (a-b))((3a-2) + (a-b)) = (3a-2-a+b)(3a-2+a-b) = (2a+b-2)(4a-b-2)$
Ответ: $(2a + b - 2)(4a - b - 2)$