Номер 650, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 650, страница 113.

Условие.

1) $x^2 + 20x - 100;$

2) $x^2 - 18x + 1;$

650. Какое наибольшее значение и при каком значении переменной при-
нимает выражение:

1) $-x^2 - 16x + 36;$

2) $2 - 16x^2 + 24x?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы найти наибольшее значение квадратичного выражения вида $ax^2 + bx + c$, нужно определить координаты вершины параболы, которую оно задает. Если коэффициент $a < 0$, ветви параболы направлены вниз, и ее вершина является точкой максимума.

Координата $x$ вершины ($x_0$) находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Наибольшее значение выражения — это координата $y$ вершины ($y_0$), которая находится подстановкой $x_0$ в исходное выражение.

1) $-x^2 - 16x + 36$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -1$, $b = -16$, $c = 36$. Так как $a = -1 < 0$, функция имеет наибольшее значение.

Найдем значение переменной $x$, при котором достигается максимум:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-16}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-16}{-2} = -8$

Теперь найдем наибольшее значение, подставив $x = -8$ в выражение:

$y_{max} = -(-8)^2 - 16(-8) + 36 = -64 + 128 + 36 = 100$

Альтернативный способ — выделение полного квадрата:

$-x^2 - 16x + 36 = -(x^2 + 16x) + 36 = -(x^2 + 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 - 8^2) + 36 = -((x+8)^2 - 64) + 36 = -(x+8)^2 + 64 + 36 = 100 - (x+8)^2$

Выражение $100 - (x+8)^2$ достигает своего максимума, когда слагаемое $(x+8)^2$ минимально, то есть равно 0. Это происходит при $x = -8$. Максимальное значение равно 100.

Ответ: наибольшее значение равно 100 при $x = -8$.

2) $2 - 16x^2 + 24x$

Запишем выражение в стандартном виде: $-16x^2 + 24x + 2$.

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -16$, $b = 24$, $c = 2$. Так как $a = -16 < 0$, функция имеет наибольшее значение.

Найдем значение переменной $x$, при котором достигается максимум:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{24}{2 \cdot (-16)} = -\frac{24}{-32} = \frac{3}{4}$

Теперь найдем наибольшее значение, подставив $x = \frac{3}{4}$ в выражение:

$y_{max} = -16(\frac{3}{4})^2 + 24(\frac{3}{4}) + 2 = -16 \cdot \frac{9}{16} + 6 \cdot 3 + 2 = -9 + 18 + 2 = 11$

Альтернативный способ — выделение полного квадрата:

$-16x^2 + 24x + 2 = -16(x^2 - \frac{24}{16}x) + 2 = -16(x^2 - \frac{3}{2}x) + 2 = -16(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2) + 2 = -16((x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) + 2 = -16(x - \frac{3}{4})^2 + 9 + 2 = 11 - 16(x - \frac{3}{4})^2$

Выражение $11 - 16(x - \frac{3}{4})^2$ достигает своего максимума, когда слагаемое $16(x - \frac{3}{4})^2$ минимально, то есть равно 0. Это происходит при $x = \frac{3}{4}$. Максимальное значение равно 11.

Ответ: наибольшее значение равно 11 при $x = \frac{3}{4}$.