Номер 648, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 648, страница 113.

Условие.

648. Докажите, что данное выражение принимает отрицательные значения при всех значениях x. Укажите, какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении x.

1) $-x^2 + 4x - 12$;

2) $22x - 121x^2 - 2$;

3) $-56 - 36x^2 - 84x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $-x^2 + 4x - 12$

Данное выражение представляет собой квадратичную функцию $y = -x^2 + 4x - 12$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -1 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2$.

Теперь найдем ординату вершины (наибольшее значение выражения), подставив $x_0 = 2$ в исходное выражение:
$y_0 = -(2)^2 + 4(2) - 12 = -4 + 8 - 12 = -8$.

Наибольшее значение, которое может принимать данное выражение, равно -8. Так как наибольшее значение является отрицательным числом, все остальные значения выражения будут еще меньше, а значит, также отрицательными. Это доказывает, что выражение принимает отрицательные значения при всех значениях $x$.
Ответ: Наибольшее значение выражения равно -8 при $x=2$.

2) $22x - 121x^2 - 2$

Перепишем выражение в стандартном виде: $-121x^2 + 22x - 2$. Это квадратичная функция $y = -121x^2 + 22x - 2$. Коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -121 < 0$), следовательно, ветви параболы направлены вниз, и функция имеет наибольшее значение в вершине.

Найдем абсциссу вершины по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{22}{2 \cdot (-121)} = -\frac{22}{-242} = \frac{1}{11}$.

Найдем наибольшее значение выражения, подставив $x_0 = \frac{1}{11}$ в функцию:
$y_0 = -121 \left(\frac{1}{11}\right)^2 + 22\left(\frac{1}{11}\right) - 2 = -121 \cdot \frac{1}{121} + \frac{22}{11} - 2 = -1 + 2 - 2 = -1$.

Наибольшее значение выражения равно -1. Так как оно отрицательно, то и все остальные значения выражения, будучи меньше максимального, также будут отрицательными при любых значениях $x$.
Ответ: Наибольшее значение выражения равно -1 при $x=\frac{1}{11}$.

3) $-56 - 36x^2 - 84x$

Перепишем выражение в стандартном виде: $-36x^2 - 84x - 56$. Это квадратичная функция $y = -36x^2 - 84x - 56$. Коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -36 < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз, и функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Найдем абсциссу вершины по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-84}{2 \cdot (-36)} = -\frac{-84}{-72} = -\frac{84}{72} = -\frac{7 \cdot 12}{6 \cdot 12} = -\frac{7}{6}$.

Найдем наибольшее значение выражения, подставив $x_0 = -\frac{7}{6}$ в функцию:
$y_0 = -36 \left(-\frac{7}{6}\right)^2 - 84\left(-\frac{7}{6}\right) - 56 = -36 \cdot \frac{49}{36} + \frac{84 \cdot 7}{6} - 56 = -49 + 14 \cdot 7 - 56 = -49 + 98 - 56 = -7$.

Наибольшее значение выражения равно -7. Так как оно отрицательно, то и все остальные значения выражения также будут отрицательными при любых значениях $x$.
Ответ: Наибольшее значение выражения равно -7 при $x=-\frac{7}{6}$.