Номер 654, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 654, страница 114.

Условие.

654. Представьте в виде суммы квадратов двух выражений многочлен:

1) $2a^2 - 2a + 1;$

2) $a^2 + b^2 + 2a + 2b + 2;$

3) $x^2 + 6x + y^2 - 2y + 10;$

4) $10x^2 - 6xy + y^2;$

5) $x^2 + 5y^2 + 4xy - 4y + 4;$

6) $2a^2 + 2b^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для того чтобы представить многочлен $2a^2 - 2a + 1$ в виде суммы квадратов, разложим $2a^2$ на $a^2 + a^2$. Получим выражение $a^2 + a^2 - 2a + 1$. Сгруппируем слагаемые следующим образом: $a^2 + (a^2 - 2a + 1)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности $(a-1)^2$, так как $a^2 - 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = (a-1)^2$. Таким образом, итоговое выражение имеет вид $a^2 + (a-1)^2$.
Ответ: $a^2 + (a-1)^2$

2) Рассмотрим многочлен $a^2 + b^2 + 2a + 2b + 2$. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными: $(a^2 + 2a) + (b^2 + 2b) + 2$. Чтобы выделить полные квадраты, представим 2 как $1 + 1$ и распределим между группами: $(a^2 + 2a + 1) + (b^2 + 2b + 1)$. Каждая из скобок теперь представляет собой полный квадрат: первая - $(a+1)^2$, вторая - $(b+1)^2$. В результате многочлен представлен как сумма квадратов $(a+1)^2 + (b+1)^2$.
Ответ: $(a+1)^2 + (b+1)^2$

3) В многочлене $x^2 + 6x + y^2 - 2y + 10$ сгруппируем слагаемые по переменным: $(x^2 + 6x) + (y^2 - 2y) + 10$. Для получения полных квадратов необходимо дополнить каждую группу. Для $(x^2 + 6x)$ нужно добавить $(\frac{6}{2})^2=9$. Для $(y^2 - 2y)$ нужно добавить $(\frac{-2}{2})^2=1$. Заметим, что константа $10$ как раз равна $9 + 1$. Перепишем выражение: $(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 2y + 1)$. Это равносильно $(x+3)^2 + (y-1)^2$.
Ответ: $(x+3)^2 + (y-1)^2$

4) Рассмотрим многочлен $10x^2 - 6xy + y^2$. Чтобы выделить полный квадрат, содержащий смешанный член $-6xy$, представим $10x^2$ как $9x^2 + x^2$. Тогда выражение примет вид: $(9x^2 - 6xy + y^2) + x^2$. Выражение в скобках является полным квадратом разности $(3x-y)^2$, так как $(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot y + y^2 = 9x^2 - 6xy + y^2$. Таким образом, многочлен можно записать как сумму квадратов $(3x-y)^2 + x^2$.
Ответ: $(3x-y)^2 + x^2$

5) Для многочлена $x^2 + 5y^2 + 4xy - 4y + 4$ сгруппируем слагаемые для выделения полных квадратов. Заметим, что слагаемые $x^2$ и $4xy$ могут быть частью квадрата $(x+2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$. Представим $5y^2$ как $4y^2 + y^2$. Тогда исходное выражение можно переписать так: $(x^2 + 4xy + 4y^2) + (y^2 - 4y + 4)$. Первое слагаемое в скобках - это $(x+2y)^2$. Второе слагаемое в скобках - это $(y-2)^2$. В итоге получаем сумму квадратов $(x+2y)^2 + (y-2)^2$.
Ответ: $(x+2y)^2 + (y-2)^2$

6) Многочлен $2a^2 + 2b^2$ можно представить в виде суммы квадратов. Для этого представим $2a^2$ как $a^2+a^2$ и $2b^2$ как $b^2+b^2$. Добавим и вычтем $2ab$: $a^2 + a^2 + b^2 + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2$. Теперь сгруппируем слагаемые: $(a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$. Первое выражение в скобках является квадратом суммы $(a+b)^2$, а второе - квадратом разности $(a-b)^2$. Таким образом, получаем $(a+b)^2 + (a-b)^2$.
Ответ: $(a+b)^2 + (a-b)^2$