Номер 657, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 657, страница 114.

Условие.

657. При каких значениях x и y равно нулю значение многочлена:

1) $x^2 + y^2 + 8x - 10y + 41$;

2) $x^2 + 37y^2 + 12xy - 2y + 1$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы найти значения x и y, при которых значение многочлена равно нулю, необходимо решить уравнение:

$x^2 + y^2 + 8x - 10y + 41 = 0$

Для решения сгруппируем слагаемые с переменной x и с переменной y, а затем выделим полные квадраты, используя формулы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x^2 + 8x) + (y^2 - 10y) + 41 = 0$

Чтобы выражение $x^2 + 8x$ стало полным квадратом $(x+4)^2$, к нему нужно добавить $4^2 = 16$.
Чтобы выражение $y^2 - 10y$ стало полным квадратом $(y-5)^2$, к нему нужно добавить $5^2 = 25$.

Заметим, что свободный член 41 можно представить как сумму $16 + 25$. Перепишем уравнение:

$(x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 10y + 25) = 0$

Теперь свернем выражения в скобках в полные квадраты:

$(x+4)^2 + (y-5)^2 = 0$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $(x+4)^2 \ge 0$ и $(y-5)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} x+4=0 \\ y-5=0 \end{cases}$

Решая систему, получаем:

$x = -4$

$y = 5$

Ответ: $x = -4, y = 5$.

2) Приравняем второй многочлен к нулю:

$x^2 + 37y^2 + 12xy - 2y + 1 = 0$

В этом выражении присутствует член $12xy$, что указывает на возможность выделения полного квадрата, содержащего обе переменные. Сгруппируем члены $x^2$ и $12xy$. Это первые два слагаемых формулы квадрата суммы $(a+b)^2$, где $a=x$ и $2ab=12xy$, из чего следует, что $b=6y$. Тогда третьим слагаемым должно быть $b^2 = (6y)^2 = 36y^2$.

Представим член $37y^2$ в виде суммы $36y^2 + y^2$. Перепишем уравнение, сгруппировав слагаемые:

$(x^2 + 12xy + 36y^2) + (y^2 - 2y + 1) = 0$

Каждое из выражений в скобках является полным квадратом:

$(x+6y)^2 + (y-1)^2 = 0$

Сумма двух квадратов равна нулю только тогда, когда каждое из оснований квадратов равно нулю. Составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} x+6y=0 \\ y-1=0 \end{cases}$

Из второго уравнения находим y:

$y = 1$

Подставим найденное значение y в первое уравнение, чтобы найти x:

$x + 6 \cdot 1 = 0$

$x + 6 = 0$

$x = -6$

Ответ: $x = -6, y = 1$.