Номер 652, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 652, страница 113.

Условие.

652. Представьте многочлен $\frac{81}{16}x^4 + y^8 - \frac{9}{2}x^2y^4$ в виде произведения квадратов двух двучленов.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Заданный многочлен: $\frac{81}{16}x^4 + y^8 - \frac{9}{2}x^2y^4$.

Переставим члены многочлена, чтобы было удобнее распознать формулу сокращенного умножения:

$\frac{81}{16}x^4 - \frac{9}{2}x^2y^4 + y^8$

Данное выражение представляет собой полный квадрат разности, который соответствует формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Определим, чему равны $a$ и $b$ в нашем случае.

Первый член $a^2 = \frac{81}{16}x^4$, откуда $a = \sqrt{\frac{81}{16}x^4} = \frac{9}{4}x^2$.

Третий член $b^2 = y^8$, откуда $b = \sqrt{y^8} = y^4$.

Проверим, соответствует ли средний член выражению $-2ab$:

$-2ab = -2 \cdot (\frac{9}{4}x^2) \cdot (y^4) = -\frac{18}{4}x^2y^4 = -\frac{9}{2}x^2y^4$.

Средний член совпадает, следовательно, наш многочлен можно свернуть в квадрат разности:

$\frac{81}{16}x^4 - \frac{9}{2}x^2y^4 + y^8 = (\frac{9}{4}x^2 - y^4)^2$.

В задании требуется представить многочлен в виде произведения квадратов двух двучленов. Для этого разложим выражение в скобках, которое является разностью квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

В выражении $\frac{9}{4}x^2 - y^4$:

$A^2 = \frac{9}{4}x^2$, значит $A = \frac{3}{2}x$.

$B^2 = y^4$, значит $B = y^2$.

Следовательно, разложение имеет вид:

$\frac{9}{4}x^2 - y^4 = (\frac{3}{2}x - y^2)(\frac{3}{2}x + y^2)$.

Теперь подставим это разложение в исходное выражение, возведенное в квадрат:

$(\frac{9}{4}x^2 - y^4)^2 = [(\frac{3}{2}x - y^2)(\frac{3}{2}x + y^2)]^2$.

Используя свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$, получаем искомое произведение квадратов двух двучленов:

$(\frac{3}{2}x - y^2)^2 (\frac{3}{2}x + y^2)^2$.

Ответ: $(\frac{3}{2}x - y^2)^2 (\frac{3}{2}x + y^2)^2$.