Номер 649, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 649, страница 113.

Условие.

649. Может ли принимать положительные значения выражение:

1) $-x^2 + 20x - 100$;

2) $-x^2 - 10 - 4x^2$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Рассмотрим выражение $-x^2 + 20x - 100$. Чтобы определить, может ли оно принимать положительные значения, преобразуем его, выделив полный квадрат.
Вынесем знак минус за скобки:
$-x^2 + 20x - 100 = -(x^2 - 20x + 100)$
Выражение в скобках представляет собой формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=10$.
$x^2 - 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2 = (x - 10)^2$
Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:
$-(x - 10)^2$
Квадрат любого действительного числа $(x-10)^2$ всегда является неотрицательным, то есть $(x-10)^2 \ge 0$.
Если умножить неотрицательное число на $-1$, результат всегда будет неположительным. Следовательно:
$-(x - 10)^2 \le 0$
Значение этого выражения равно нулю при $x = 10$ и отрицательно при всех других значениях $x$. Таким образом, оно никогда не может быть положительным.
Ответ: не может.

2)

Рассмотрим выражение $-x^2 - 10 - 4x$. Для удобства анализа запишем его в стандартном виде для квадратного трехчлена: $-x^2 - 4x - 10$.
Это выражение задает квадратичную функцию $y(x) = -x^2 - 4x - 10$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет максимальное значение в своей вершине. Если это максимальное значение будет положительным, то и выражение сможет принимать положительные значения.
Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = \frac{-(-4)}{2(-1)} = \frac{4}{-2} = -2$
Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_0 = -2$ в выражение. Это и будет максимальное значение выражения.
$y_0 = -(-2)^2 - 4(-2) - 10 = -(4) + 8 - 10 = -4 + 8 - 10 = -6$
Максимальное значение, которое может принимать данное выражение, равно $-6$. Поскольку $-6 < 0$, выражение не может принимать положительные значения. Оно всегда будет меньше или равно $-6$.
Ответ: не может.