Номер 642, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 642, страница 113.

Условие.

642. Является ли тождеством равенство: $(a-2)(a-3)(a+3)(a+2)+a^2 = (a^2-6)^2?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы определить, является ли данное равенство тождеством, необходимо преобразовать его левую и правую части и убедиться, что они равны друг другу при любых значениях переменной $a$.

1. Преобразуем левую часть равенства: $(a-2)(a-3)(a+3)(a+2)+a^2$.

Сгруппируем множители, чтобы использовать формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$:

$(a-2)(a+2) \cdot (a-3)(a+3) + a^2 = (a^2 - 2^2)(a^2 - 3^2) + a^2 = (a^2-4)(a^2-9)+a^2$.

Теперь раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$(a^2-4)(a^2-9)+a^2 = a^2 \cdot a^2 - 9a^2 - 4a^2 + (-4)(-9) + a^2 = a^4 - 13a^2 + 36 + a^2 = a^4 - 12a^2 + 36$.

2. Преобразуем правую часть равенства: $(a^2-6)^2$.

Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a^2-6)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 6 + 6^2 = a^4 - 12a^2 + 36$.

3. Сравним результаты.

Левая часть: $a^4 - 12a^2 + 36$.

Правая часть: $a^4 - 12a^2 + 36$.

Поскольку после преобразований левая и правая части равенства оказались идентичными ($a^4 - 12a^2 + 36 = a^4 - 12a^2 + 36$), исходное равенство верно при любых значениях переменной $a$. Следовательно, оно является тождеством.

Ответ: да, данное равенство является тождеством.