Номер 640, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 640, страница 112.

Условие.

640. Решите уравнение:

1) $x^2 - 16x + 64 = 0$;

2) $81x^2 + 126x + 49 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $x^2 - 16x + 64 = 0$

Данное уравнение является квадратным. Заметим, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле сокращенного умножения: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a^2 = x^2$, следовательно, $a=x$. Свободный член $b^2 = 64$, следовательно, $b=8$.

Проверим, соответствует ли средний член формуле: $2ab = 2 \cdot x \cdot 8 = 16x$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(x - 8)^2 = 0$

Если квадрат выражения равен нулю, то и само выражение равно нулю:

$x - 8 = 0$

Отсюда находим корень уравнения:

$x = 8$

Ответ: $8$.

2) $81x^2 + 126x + 49 = 0$

Это также квадратное уравнение. Проверим, является ли левая часть уравнения полным квадратом суммы по формуле: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном уравнении первый член $a^2 = 81x^2 = (9x)^2$, значит $a=9x$. Свободный член $b^2 = 49 = 7^2$, значит $b=7$.

Проверим средний член по формуле: $2ab = 2 \cdot (9x) \cdot 7 = 126x$.

Средний член совпадает, поэтому мы можем свернуть выражение в квадрат суммы:

$(9x + 7)^2 = 0$

Это уравнение равносильно следующему линейному уравнению:

$9x + 7 = 0$

Решим его относительно $x$:

$9x = -7$

$x = -\frac{7}{9}$

Ответ: $-\frac{7}{9}$.