Номер 638, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 638, страница 112.

Условие.

638. Какое число надо прибавить к многочлену $81a^2b^2 - 36ab + 9$, чтобы полученное выражение было тождественно равно квадрату двучлена?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы полученное выражение было тождественно равно квадрату двучлена, оно должно соответствовать одной из формул сокращенного умножения: $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ или $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.

Дан многочлен $81a^2b^2 - 36ab + 9$. Обозначим искомое число, которое нужно прибавить, за $c$. Тогда новый многочлен будет иметь вид $81a^2b^2 - 36ab + 9 + c$.

Поскольку в многочлене присутствует член $-36ab$ со знаком минус, мы будем использовать формулу квадрата разности: $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.

Сравним наш многочлен с этой формулой, чтобы найти, каким должен быть каждый его член, чтобы он стал полным квадратом.

1. Первый член $x^2$ должен соответствовать $81a^2b^2$. Отсюда находим $x$:

$x^2 = 81a^2b^2 \implies x = \sqrt{81a^2b^2} = 9ab$

2. Удвоенное произведение $-2xy$ должно соответствовать $-36ab$. Подставим найденное значение $x=9ab$:

$-2xy = -2 \cdot (9ab) \cdot y = -18ab \cdot y$

Приравниваем это выражение к соответствующему члену нашего многочлена:

$-18ab \cdot y = -36ab$

Отсюда находим $y$:

$y = \frac{-36ab}{-18ab} = 2$

3. Третий член $y^2$ в формуле полного квадрата должен быть равен квадрату найденного $y$:

$y^2 = 2^2 = 4$

Этот член $y^2$ должен соответствовать постоянной части нашего нового многочлена, то есть выражению $9+c$.

Приравниваем их, чтобы найти искомое число $c$:

$9 + c = 4$

$c = 4 - 9$

$c = -5$

Таким образом, к исходному многочлену нужно прибавить число -5.

Проверим результат. Если прибавить -5 к исходному многочлену, получим:

$81a^2b^2 - 36ab + 9 + (-5) = 81a^2b^2 - 36ab + 4$

Это выражение действительно является квадратом двучлена:

$81a^2b^2 - 36ab + 4 = (9ab)^2 - 2 \cdot (9ab) \cdot 2 + 2^2 = (9ab - 2)^2$

Ответ: -5.