Номер 631, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 631, страница 112.

Условие.

631. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы выполнялось тождество:

1) $n^2 + 60n + \ast = (\ast + 30)^2;$

2) $25c^2 - \ast + \ast = (\ast - 8k)^2;$

3) $225a^2 - \ast + 64b^4 = (\ast - \ast)^2;$

4) $0,04x^2 + \ast + \ast = (\ast + 0,3y^3)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения данной задачи мы будем использовать формулы сокращённого умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

Мы будем сопоставлять данные выражения с этими формулами, чтобы найти недостающие одночлены.

1) $n^2 + 60n + * = (* + 30)^2$

Данное тождество основано на формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Рассмотрим правую часть тождества: $(* + 30)^2$. Здесь один из членов, $b$, равен $30$. Пусть второй член, скрытый под звёздочкой, равен $a$. Тогда, раскрыв скобки по формуле, получим: $(a+30)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 30 + 30^2 = a^2 + 60a + 900$.

Теперь сравним полученное выражение с левой частью тождества: $n^2 + 60n + *$.

Сопоставляя члены многочленов, видим, что $a^2$ соответствует $n^2$, откуда следует, что $a=n$. Средний член $60a$ соответствует $60n$, что подтверждает наш вывод. Последний член в левой части (звёздочка) соответствует $30^2$, то есть $900$.

Таким образом, звёздочку в левой части нужно заменить на $900$, а звёздочку в правой части — на $n$.

Ответ: $n^2 + 60n + \mathbf{900} = (\mathbf{n} + 30)^2$.

2) $25c^2 - * + * = (* - 8k)^2$

Данное тождество основано на формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Рассмотрим правую часть тождества: $(* - 8k)^2$. Здесь $b = 8k$. Пусть одночлен под звёздочкой равен $a$. Раскроем скобки по формуле: $(a-8k)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 8k + (8k)^2 = a^2 - 16ak + 64k^2$.

Теперь сравним полученное выражение с левой частью тождества: $25c^2 - * + *$.

Сопоставляя первые члены, видим, что $a^2$ соответствует $25c^2$, откуда $a = \sqrt{25c^2} = 5c$.

Подставим найденное значение $a=5c$ в раскрытое выражение. Удвоенное произведение будет равно $16ak = 16(5c)k = 80ck$. Квадрат второго члена равен $(8k)^2 = 64k^2$.

Следовательно, первая звёздочка в левой части (удвоенное произведение) — это $80ck$, вторая (квадрат второго члена) — $64k^2$. Звёздочка в правой части — это $5c$.

Ответ: $25c^2 - \mathbf{80ck} + \mathbf{64k^2} = (\mathbf{5c} - 8k)^2$.

3) $225a^2 - * + 64b^4 = (* - *)^2$

Данное тождество основано на формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

Рассмотрим левую часть тождества: $225a^2 - * + 64b^4$. Мы можем определить первый и последний члены полного квадрата.

Первый член $x^2 = 225a^2$, откуда $x = \sqrt{225a^2} = 15a$.

Третий член $y^2 = 64b^4$, откуда $y = \sqrt{64b^4} = 8b^2$.

Тогда правая часть тождества будет иметь вид $(15a - 8b^2)^2$. Таким образом, звёздочки в правой части нужно заменить на $15a$ и $8b^2$.

Средний член в левой части (под звёздочкой) равен удвоенному произведению $2xy = 2 \cdot (15a) \cdot (8b^2) = 240ab^2$.

Ответ: $225a^2 - \mathbf{240ab^2} + 64b^4 = (\mathbf{15a} - \mathbf{8b^2})^2$.

4) $0.04x^2 + * + * = (* + 0.3y^3)^2$

Данное тождество основано на формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Рассмотрим правую часть тождества: $(* + 0.3y^3)^2$. Здесь $b = 0.3y^3$. Пусть одночлен под звёздочкой равен $a$. Раскроем скобки по формуле: $(a + 0.3y^3)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (0.3y^3) + (0.3y^3)^2 = a^2 + 0.6ay^3 + 0.09y^6$.

Теперь сравним полученное выражение с левой частью тождества: $0.04x^2 + * + *$.

Сопоставляя первые члены, видим, что $a^2$ соответствует $0.04x^2$, откуда $a = \sqrt{0.04x^2} = 0.2x$.

Подставим найденное значение $a=0.2x$ в раскрытое выражение. Удвоенное произведение будет равно $0.6ay^3 = 0.6(0.2x)y^3 = 0.12xy^3$. Квадрат второго члена равен $(0.3y^3)^2=0.09y^6$.

Следовательно, первая звёздочка в левой части — это $0.12xy^3$, вторая — $0.09y^6$. Звёздочка в правой части — это $0.2x$.

Ответ: $0.04x^2 + \mathbf{0.12xy^3} + \mathbf{0.09y^6} = (\mathbf{0.2x} + 0.3y^3)^2$.