Номер 635, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 635, страница 112.

Условие.

635. Преобразуйте в квадрат двучлена выражение:

1) $(3m - 2n)^2 + 5m(4n - m);$

2) $(9x + 2y)^2 - (8x + 3y)(4x - 4y).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Преобразуем выражение $(3m - 2n)^2 + 5m(4n - m)$.
Для начала, раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(3m - 2n)^2 = (3m)^2 - 2 \cdot 3m \cdot 2n + (2n)^2 = 9m^2 - 12mn + 4n^2$.
Далее, раскроем скобки во втором слагаемом, умножив $5m$ на каждый член в скобках:
$5m(4n - m) = 5m \cdot 4n - 5m \cdot m = 20mn - 5m^2$.
Теперь сложим полученные выражения:
$(9m^2 - 12mn + 4n^2) + (20mn - 5m^2)$.
Приведем подобные слагаемые:
$9m^2 - 12mn + 4n^2 + 20mn - 5m^2 = (9m^2 - 5m^2) + (-12mn + 20mn) + 4n^2 = 4m^2 + 8mn + 4n^2$.
Полученный трехчлен $4m^2 + 8mn + 4n^2$ можно свернуть в квадрат суммы по формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, где $a = 2m$ и $b = 2n$:
$4m^2 + 8mn + 4n^2 = (2m)^2 + 2 \cdot (2m) \cdot (2n) + (2n)^2 = (2m + 2n)^2$.
Ответ: $(2m + 2n)^2$.

2) Преобразуем выражение $(9x + 2y)^2 - (8x + 3y)(4x - 4y)$.
Сначала раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(9x + 2y)^2 = (9x)^2 + 2 \cdot 9x \cdot 2y + (2y)^2 = 81x^2 + 36xy + 4y^2$.
Далее, раскроем произведение двух скобок $(8x + 3y)(4x - 4y)$:
$(8x + 3y)(4x - 4y) = 8x \cdot 4x + 8x \cdot (-4y) + 3y \cdot 4x + 3y \cdot (-4y) = 32x^2 - 32xy + 12xy - 12y^2$.
Приведем подобные слагаемые в полученном выражении:
$32x^2 - 20xy - 12y^2$.
Теперь вычтем второе выражение из первого:
$(81x^2 + 36xy + 4y^2) - (32x^2 - 20xy - 12y^2) = 81x^2 + 36xy + 4y^2 - 32x^2 + 20xy + 12y^2$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(81x^2 - 32x^2) + (36xy + 20xy) + (4y^2 + 12y^2) = 49x^2 + 56xy + 16y^2$.
Полученный трехчлен $49x^2 + 56xy + 16y^2$ является полным квадратом. Свернем его по формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, где $a = 7x$ и $b = 4y$:
$49x^2 + 56xy + 16y^2 = (7x)^2 + 2 \cdot (7x) \cdot (4y) + (4y)^2 = (7x + 4y)^2$.
Ответ: $(7x + 4y)^2$.