Номер 639, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 639, страница 112.

Условие.

639. Какое число надо прибавить к многочлену $100m^4 + 120m^2 + 40$, чтобы полученное выражение было тождественно равно квадрату двучлена?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы многочлен был тождественно равен квадрату двучлена, он должен представлять собой полный квадрат. Формула квадрата суммы двучлена имеет вид: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Рассмотрим заданный многочлен $100m^4 + 120m^2 + 40$. Попытаемся привести его к виду полного квадрата.

Первый член многочлена, $100m^4$, можно представить как квадрат выражения $10m^2$. $a^2 = 100m^4 = (10m^2)^2$. Следовательно, можно предположить, что $a = 10m^2$.

Второй член многочлена, $120m^2$, должен соответствовать удвоенному произведению $2ab$. $2ab = 120m^2$.

Подставим в это равенство найденное значение $a = 10m^2$ и найдем $b$: $2 \cdot (10m^2) \cdot b = 120m^2$ $20m^2 \cdot b = 120m^2$ $b = \frac{120m^2}{20m^2} = 6$.

Теперь, чтобы выражение стало полным квадратом, третий член должен быть равен $b^2$. $b^2 = 6^2 = 36$.

Таким образом, полный квадрат двучлена $(10m^2 + 6)$ равен: $(10m^2 + 6)^2 = 100m^4 + 120m^2 + 36$.

В исходном многочлене свободный член равен 40. Чтобы он стал равен 36, необходимо найти число $x$, которое нужно прибавить к 40. $40 + x = 36$ $x = 36 - 40$ $x = -4$.

Следовательно, к многочлену $100m^4 + 120m^2 + 40$ нужно прибавить число -4, чтобы получить полный квадрат.

Ответ: -4.