Номер 643, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 643, страница 113.

Условие.

643. Докажите тождество:

1) $(a - 1)^2 + 2(a - 1) + 1 = a^2;$

2) $(a + b)^2 - 2(a + b)(a - b) + (a - b)^2 = 4b^2;$

3) $(a - 8)^2 + 2(a - 8)(3 - a) + (a - 3)^2 = 25;$

4) $(x^n - 2)^2 - 2(x^n - 2)(x^n + 2) + (x^n + 2)^2 = 16,$

где $n$ - произвольное натуральное число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Докажем тождество $(a - 1)^2 + 2(a - 1) + 1 = a^2$.

Левая часть выражения соответствует формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

Сделаем замену: пусть $A = a-1$ и $B = 1$. Тогда левая часть тождества сворачивается по формуле:

$(a - 1)^2 + 2(a - 1) \cdot 1 + 1^2 = ((a - 1) + 1)^2$

Упростим выражение в скобках:

$(a - 1 + 1)^2 = a^2$

Получили, что левая часть равна $a^2$, что соответствует правой части тождества. Таким образом, $a^2 = a^2$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $(a + b)^2 - 2(a + b)(a - b) + (a - b)^2 = 4b^2$.

Левая часть выражения соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Сделаем замену: пусть $A = a+b$ и $B = a-b$. Тогда левая часть тождества сворачивается по формуле:

$((a + b) - (a - b))^2$

Раскроем внутренние скобки и упростим выражение:

$(a + b - a + b)^2 = (2b)^2$

Возведем в квадрат:

$(2b)^2 = 4b^2$

Получили, что левая часть равна $4b^2$, что соответствует правой части тождества. Таким образом, $4b^2 = 4b^2$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $(a - 8)^2 + 2(a - 8)(3 - a) + (a - 3)^2 = 25$.

Заметим, что $(a - 3)^2 = (-(3 - a))^2 = (3 - a)^2$. Перепишем левую часть, используя это свойство:

$(a - 8)^2 + 2(a - 8)(3 - a) + (3 - a)^2$

Это выражение соответствует формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

Сделаем замену: пусть $A = a-8$ и $B = 3-a$. Тогда левая часть тождества сворачивается по формуле:

$((a - 8) + (3 - a))^2$

Упростим выражение в скобках:

$(a - 8 + 3 - a)^2 = (-5)^2$

Возведем в квадрат:

$(-5)^2 = 25$

Получили, что левая часть равна $25$, что соответствует правой части тождества. Таким образом, $25 = 25$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество $(x^n - 2)^2 - 2(x^n - 2)(x^n + 2) + (x^n + 2)^2 = 16$, где $n$ — произвольное натуральное число.

Левая часть выражения соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Сделаем замену: пусть $A = x^n - 2$ и $B = x^n + 2$. Тогда левая часть тождества сворачивается по формуле:

$((x^n - 2) - (x^n + 2))^2$

Раскроем внутренние скобки и упростим выражение:

$(x^n - 2 - x^n - 2)^2 = (-4)^2$

Возведем в квадрат:

$(-4)^2 = 16$

Получили, что левая часть равна $16$, что соответствует правой части тождества. Таким образом, $16 = 16$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.