Номер 647, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 647, страница 113.

Условие.

647. Может ли принимать отрицательные значения выражение:

1) $x^2 - 24x + 144$;

2) $4x^2 + 20x + 28?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $x^2 - 24x + 144$
Чтобы определить, может ли данное выражение принимать отрицательные значения, преобразуем его, используя формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a=x$ и $b=12$, так как $x^2 = x^2$ и $144 = 12^2$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 12 = 24x$.
Следовательно, выражение можно свернуть в полный квадрат:
$x^2 - 24x + 144 = (x-12)^2$
Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x-12)^2 \ge 0$ при любом значении $x$. Минимальное значение, равное нулю, достигается при $x=12$. Таким образом, данное выражение не может принимать отрицательные значения.
Ответ: нет, не может.

2) $4x^2 + 20x + 28$
Чтобы определить, может ли это выражение быть отрицательным, преобразуем его методом выделения полного квадрата. Для этого используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Представим выражение в следующем виде:
$4x^2 + 20x + 28 = (4x^2 + 20x + 25) + 3$
Часть в скобках является полным квадратом, где $a=2x$ и $b=5$:
$(2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 5 + 5^2 = (2x+5)^2$
Тогда исходное выражение равно:
$(2x+5)^2 + 3$
Квадрат любого действительного числа $(2x+5)^2$ всегда больше или равен нулю: $(2x+5)^2 \ge 0$.
Следовательно, наименьшее значение всего выражения будет $0 + 3 = 3$. Это означает, что выражение $4x^2 + 20x + 28$ всегда больше или равно 3, и, таким образом, не может принимать отрицательные значения.
Ответ: нет, не может.