Номер 653, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 653, страница 113.

Условие.

653. Докажите, что выражение $(a - 3b)(a - 3b - 4) + 4$ принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы доказать, что данное выражение принимает неотрицательные значения, преобразуем его. В выражении $(a - 3b)(a - 3b - 4) + 4$ можно заметить повторяющуюся часть $(a - 3b)$.

Сделаем замену переменной для упрощения вычислений. Пусть $x = a - 3b$.

Подставим $x$ в исходное выражение:

$x(x - 4) + 4$

Раскроем скобки:

$x^2 - 4x + 4$

Полученное выражение представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $(p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$. В данном случае $p=x$, а $q=2$.

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x - 2)^2$

Теперь выполним обратную замену, подставив $a - 3b$ вместо $x$:

$(a - 3b - 2)^2$

Таким образом, исходное выражение тождественно равно $(a - 3b - 2)^2$.

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом, то есть $(a - 3b - 2)^2 \ge 0$ при любых действительных значениях переменных $a$ и $b$.

Следовательно, выражение $(a - 3b)(a - 3b - 4) + 4$ принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что выражение принимает неотрицательные значения, так как оно тождественно равно $(a - 3b - 2)^2$, а квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен.