Номер 633, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 633, страница 112.

Условие.

633. Представьте, если это возможно, в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена, трёхчлен:

1) $-a^4 - 0.8a^6 - 0.16a^8;$

2) $121m^2 - 44mn + 16n^2;$

3) $-a^6 + 4a^3b - 4b^2;$

4) $\frac{25}{49}a^8 - 10a^4b^6 + 49b^{12};$

5) $80xy + 16x^2 + 25y^2;$

6) $b^{10} - \frac{1}{3}b^5c + \frac{1}{9}c^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Данный трёхчлен: $-a^4 - 0,8a^6 - 0,16a^8$.
Вынесем знак минус за скобки: $-(a^4 + 0,8a^6 + 0,16a^8)$.
Проверим, является ли выражение в скобках полным квадратом, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Пусть $x^2 = a^4$, тогда $x = a^2$.
Пусть $y^2 = 0,16a^8$, тогда $y = 0,4a^4$.
Теперь найдём удвоенное произведение $2xy$: $2 \cdot a^2 \cdot 0,4a^4 = 0,8a^6$.
Этот результат совпадает со средним членом выражения в скобках.
Следовательно, $a^4 + 0,8a^6 + 0,16a^8 = (a^2 + 0,4a^4)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $-(a^2 + 0,4a^4)^2$.
Ответ: $-(a^2 + 0,4a^4)^2$.

2) Данный трёхчлен: $121m^2 - 44mn + 16n^2$.
Попытаемся представить его в виде квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Пусть $x^2 = 121m^2$, тогда $x = 11m$.
Пусть $y^2 = 16n^2$, тогда $y = 4n$.
Проверим, чему равно удвоенное произведение $2xy$: $2 \cdot 11m \cdot 4n = 88mn$.
Средний член в исходном выражении равен $44mn$, а не $88mn$.
Следовательно, этот трёхчлен нельзя представить в виде квадрата двучлена.
Ответ: Невозможно представить в виде квадрата двучлена.

3) Данный трёхчлен: $-a^6 + 4a^3b - 4b^2$.
Вынесем знак минус за скобки: $-(a^6 - 4a^3b + 4b^2)$.
Проверим, является ли выражение в скобках квадратом разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Пусть $x^2 = a^6$, тогда $x = a^3$.
Пусть $y^2 = 4b^2$, тогда $y = 2b$.
Найдём удвоенное произведение $2xy$: $2 \cdot a^3 \cdot 2b = 4a^3b$.
Этот результат совпадает со средним членом выражения в скобках (с учётом знака "минус" перед ним).
Следовательно, $a^6 - 4a^3b + 4b^2 = (a^3 - 2b)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $-(a^3 - 2b)^2$.
Ответ: $-(a^3 - 2b)^2$.

4) Данный трёхчлен: $\frac{25}{49}a^8 - 10a^4b^6 + 49b^{12}$.
Попытаемся представить его в виде квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Пусть $x^2 = \frac{25}{49}a^8$, тогда $x = \frac{5}{7}a^4$.
Пусть $y^2 = 49b^{12}$, тогда $y = 7b^6$.
Проверим, чему равно удвоенное произведение $2xy$: $2 \cdot \frac{5}{7}a^4 \cdot 7b^6 = 10a^4b^6$.
Это совпадает со средним членом исходного выражения (с учётом знака "минус").
Следовательно, данный трёхчлен является полным квадратом.
Ответ: $(\frac{5}{7}a^4 - 7b^6)^2$.

5) Данный трёхчлен: $80xy + 16x^2 + 25y^2$.
Переставим слагаемые для удобства: $16x^2 + 80xy + 25y^2$.
Попытаемся представить его в виде квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Пусть $a^2 = 16x^2$, тогда $a = 4x$.
Пусть $b^2 = 25y^2$, тогда $b = 5y$.
Проверим, чему равно удвоенное произведение $2ab$: $2 \cdot 4x \cdot 5y = 40xy$.
Средний член в исходном выражении равен $80xy$, а не $40xy$.
Следовательно, этот трёхчлен нельзя представить в виде квадрата двучлена.
Ответ: Невозможно представить в виде квадрата двучлена.

6) Данный трёхчлен: $b^{10} - \frac{1}{3}b^5c + \frac{1}{9}c^2$.
Попытаемся представить его в виде квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Пусть $x^2 = b^{10}$, тогда $x = b^5$.
Пусть $y^2 = \frac{1}{9}c^2$, тогда $y = \frac{1}{3}c$.
Проверим, чему равно удвоенное произведение $2xy$: $2 \cdot b^5 \cdot \frac{1}{3}c = \frac{2}{3}b^5c$.
Средний член в исходном выражении равен $\frac{1}{3}b^5c$, а не $\frac{2}{3}b^5c$.
Следовательно, этот трёхчлен нельзя представить в виде квадрата двучлена.
Ответ: Невозможно представить в виде квадрата двучлена.