Номер 664, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 664, страница 114.

Условие.

664. Числа $a$ и $b$ таковы, что $b^2 + \frac{a^2}{4} = 1, ab = 3, a > 0, b > 0$. Найдите значение выражения $a + 2b$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Нам даны следующие условия:

1) $b^2 + \frac{a^2}{4} = 1$

2) $ab = 3$

3) $a > 0, b > 0$

Необходимо найти значение выражения $a + 2b$.

Рассмотрим квадрат искомого выражения $(a + 2b)$. Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a + 2b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$

Теперь преобразуем первое данное нам уравнение. Умножим обе части уравнения $b^2 + \frac{a^2}{4} = 1$ на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$4 \cdot (b^2 + \frac{a^2}{4}) = 4 \cdot 1$

$4b^2 + a^2 = 4$

Теперь мы можем подставить известные нам значения в выражение для квадрата суммы. Сгруппируем слагаемые:

$(a + 2b)^2 = (a^2 + 4b^2) + 4ab$

Из преобразованного уравнения мы знаем, что $a^2 + 4b^2 = 4$. Из второго условия нам дано, что $ab = 3$. Подставим эти значения:

$(a + 2b)^2 = 4 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$a + 2b = \pm\sqrt{16}$

$a + 2b = 4$ или $a + 2b = -4$

По условию задачи, числа $a$ и $b$ положительные ($a > 0$ и $b > 0$). Это означает, что сумма $a + 2b$ также должна быть положительной, так как является суммой двух положительных слагаемых ($a$ и $2b$).

Следовательно, мы должны выбрать положительное значение.

$a + 2b = 4$

Ответ: 4