Номер 673, страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 673, страница 115.

Условие.

673. Представьте в виде куба одночлена выражение:

1) $a^3b^6$;

2) $8x^3y^9$;

3) $\frac{1}{64}c^9$;

4) $125m^{12}n^{21}$;

5) $0,216k^{15}p^{24}$;

6) $0,008a^9b^{18}c^{27}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы представить выражение $a^3b^6$ в виде куба одночлена, необходимо найти такой одночлен, который при возведении в третью степень даст исходное выражение. Для этого извлечем кубический корень из каждого множителя, используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$ и, соответственно, $\sqrt[3]{x^k} = x^{k/3}$.

Для переменной $a$ в степени 3: $\sqrt[3]{a^3} = a^{3/3} = a$.

Для переменной $b$ в степени 6: $\sqrt[3]{b^6} = b^{6/3} = b^2$.

Объединяя результаты, получаем искомый одночлен $ab^2$.

Таким образом, $a^3b^6 = (ab^2)^3$.

Проверка: $(ab^2)^3 = a^3 \cdot (b^2)^3 = a^3b^{2 \cdot 3} = a^3b^6$.

Ответ: $(ab^2)^3$.

2) Рассмотрим выражение $8x^3y^9$. Найдем кубический корень из каждого множителя.

Кубический корень из коэффициента 8: $\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.

Для переменной $x$ в степени 3: $\sqrt[3]{x^3} = x^{3/3} = x$.

Для переменной $y$ в степени 9: $\sqrt[3]{y^9} = y^{9/3} = y^3$.

Собираем одночлен: $2xy^3$.

Таким образом, $8x^3y^9 = (2xy^3)^3$.

Проверка: $(2xy^3)^3 = 2^3 \cdot x^3 \cdot (y^3)^3 = 8x^3y^{3 \cdot 3} = 8x^3y^9$.

Ответ: $(2xy^3)^3$.

3) Представим выражение $\frac{1}{64}c^9$ в виде куба. Извлечем кубический корень из каждого множителя.

Кубический корень из коэффициента $\frac{1}{64}$: $\sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{4}$, так как $4^3 = 64$.

Для переменной $c$ в степени 9: $\sqrt[3]{c^9} = c^{9/3} = c^3$.

Искомый одночлен: $\frac{1}{4}c^3$.

Таким образом, $\frac{1}{64}c^9 = (\frac{1}{4}c^3)^3$.

Проверка: $(\frac{1}{4}c^3)^3 = (\frac{1}{4})^3 \cdot (c^3)^3 = \frac{1}{64}c^{3 \cdot 3} = \frac{1}{64}c^9$.

Ответ: $(\frac{1}{4}c^3)^3$.

4) Рассмотрим выражение $125m^{12}n^{21}$. Найдем кубический корень из каждого множителя.

Кубический корень из коэффициента 125: $\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3 = 125$.

Для переменной $m$ в степени 12: $\sqrt[3]{m^{12}} = m^{12/3} = m^4$.

Для переменной $n$ в степени 21: $\sqrt[3]{n^{21}} = n^{21/3} = n^7$.

Собираем одночлен: $5m^4n^7$.

Таким образом, $125m^{12}n^{21} = (5m^4n^7)^3$.

Проверка: $(5m^4n^7)^3 = 5^3 \cdot (m^4)^3 \cdot (n^7)^3 = 125m^{4 \cdot 3}n^{7 \cdot 3} = 125m^{12}n^{21}$.

Ответ: $(5m^4n^7)^3$.

5) Представим выражение $0,216k^{15}p^{24}$ в виде куба одночлена.

Найдем кубический корень из коэффициента 0,216: $\sqrt[3]{0,216} = \sqrt[3]{\frac{216}{1000}} = \frac{6}{10} = 0,6$, так как $0,6^3 = 0,216$.

Для переменной $k$ в степени 15: $\sqrt[3]{k^{15}} = k^{15/3} = k^5$.

Для переменной $p$ в степени 24: $\sqrt[3]{p^{24}} = p^{24/3} = p^8$.

Искомый одночлен: $0,6k^5p^8$.

Таким образом, $0,216k^{15}p^{24} = (0,6k^5p^8)^3$.

Проверка: $(0,6k^5p^8)^3 = (0,6)^3 \cdot (k^5)^3 \cdot (p^8)^3 = 0,216k^{5 \cdot 3}p^{8 \cdot 3} = 0,216k^{15}p^{24}$.

Ответ: $(0,6k^5p^8)^3$.

6) Рассмотрим выражение $0,008a^9b^{18}c^{27}$. Найдем кубический корень из каждого множителя.

Кубический корень из коэффициента 0,008: $\sqrt[3]{0,008} = \sqrt[3]{\frac{8}{1000}} = \frac{2}{10} = 0,2$, так как $0,2^3 = 0,008$.

Для переменной $a$ в степени 9: $\sqrt[3]{a^9} = a^{9/3} = a^3$.

Для переменной $b$ в степени 18: $\sqrt[3]{b^{18}} = b^{18/3} = b^6$.

Для переменной $c$ в степени 27: $\sqrt[3]{c^{27}} = c^{27/3} = c^9$.

Собираем одночлен: $0,2a^3b^6c^9$.

Таким образом, $0,008a^9b^{18}c^{27} = (0,2a^3b^6c^9)^3$.

Проверка: $(0,2a^3b^6c^9)^3 = (0,2)^3 \cdot (a^3)^3 \cdot (b^6)^3 \cdot (c^9)^3 = 0,008a^{3 \cdot 3}b^{6 \cdot 3}c^{9 \cdot 3} = 0,008a^9b^{18}c^{27}$.

Ответ: $(0,2a^3b^6c^9)^3$.