Номер 674, страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 674, страница 115.

Условие.

674. Можно ли натуральные числа от 1 до 32 разбить на три группы так, чтобы произведения чисел каждой группы были равны?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Предположим, что натуральные числа от 1 до 32 можно разбить на три группы с равными произведениями. Обозначим это равное произведение как $P$.

Тогда произведение всех чисел от 1 до 32, которое равно $32!$ (32 факториал), будет равно произведению произведений чисел в этих трех группах:

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 32 = P \cdot P \cdot P$

$32! = P^3$

Это равенство означает, что число $32!$ должно быть полным кубом некоторого натурального числа $P$.

Для того чтобы число являлось полным кубом, необходимо, чтобы в его разложении на простые множители все показатели степеней были кратны 3.

Рассмотрим простое число 31. В множестве натуральных чисел от 1 до 32 есть только одно число, которое делится на 31 — это само число 31.

Следовательно, в разложении числа $32!$ на простые множители множитель 31 будет встречаться только один раз, то есть в первой степени ($31^1$).

Показатель степени 1 не является кратным 3. Это означает, что число $32!$ не является полным кубом натурального числа.

Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: разбить натуральные числа от 1 до 32 на три группы с равными произведениями нельзя.