Номер 786, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §20. Связи между величинами. Функция - номер 786, страница 146.

Условие.

786. Найдите такое наименьшее натуральное значение $a$, при котором выражение $x^2 - 4x + 2a$ принимает положительные значения при любом значении $x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Рассмотрим выражение $x^2 - 4x + 2a$ как квадратичную функцию $f(x) = x^2 - 4x + 2a$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля.

Чтобы выражение принимало положительные значения при любом значении $x$, необходимо, чтобы вся парабола находилась выше оси абсцисс (оси Ox). Это означает, что парабола не должна пересекать ось Ox и не должна касаться ее. Следовательно, у соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x + 2a = 0$ не должно быть действительных корней.

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен.

Найдем дискриминант для уравнения $x^2 - 4x + 2a = 0$. Коэффициенты этого уравнения: $a=1$, $b=-4$, $c=2a$.

Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Подставим значения коэффициентов:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a) = 16 - 8a$

Теперь решим неравенство $D < 0$, чтобы найти значения параметра $a$, при которых корней нет:

$16 - 8a < 0$

Перенесем $8a$ в правую часть:

$16 < 8a$

Разделим обе части на 8:

$a > \frac{16}{8}$

$a > 2$

По условию задачи, необходимо найти наименьшее натуральное значение $a$. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...). Нам нужно найти наименьшее натуральное число, которое строго больше 2.

Этим числом является 3.

Ответ: 3