Номер 785, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §20. Связи между величинами. Функция - номер 785, страница 146.

Условие.

785. Разложите на множители выражение:

1) $-\frac{9}{64} n^6 - 3mn^5 - 16m^2n^4$;

2) $20z^2 + 3xy - 15xz - 4yz$;

3) $0,027a^{12} + b^9$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $-\frac{9}{64}n^6 - 3mn^5 - 16m^2n^4$

Сначала вынесем за скобки общий множитель $-n^4$.

$-\frac{9}{64}n^6 - 3mn^5 - 16m^2n^4 = -n^4(\frac{9}{64}n^2 + 3mn + 16m^2)$

Выражение в скобках, $\frac{9}{64}n^2 + 3mn + 16m^2$, похоже на формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Проверим, так ли это. Пусть $a^2 = \frac{9}{64}n^2$, тогда $a = \frac{3}{8}n$.

Пусть $b^2 = 16m^2$, тогда $b = 4m$.

Теперь проверим средний член, он должен быть равен $2ab$:

$2ab = 2 \cdot (\frac{3}{8}n) \cdot (4m) = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{8}mn = \frac{24}{8}mn = 3mn$.

Средний член совпадает, значит, выражение в скобках является полным квадратом суммы.

$\frac{9}{64}n^2 + 3mn + 16m^2 = (\frac{3}{8}n + 4m)^2$

Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители следующим образом:

$-n^4(\frac{3}{8}n + 4m)^2$

Ответ: $-n^4(\frac{3}{8}n + 4m)^2$.

2) $20z^2 + 3xy - 15xz - 4yz$

Для разложения на множители этого многочлена применим метод группировки. Переставим слагаемые и сгруппируем их попарно:

$20z^2 + 3xy - 15xz - 4yz = (20z^2 - 15xz) + (3xy - 4yz)$

Вынесем общие множители из каждой скобки. Из первой скобки вынесем $5z$, из второй — $y$.

$5z(4z - 3x) + y(3x - 4z)$

Выражения в скобках $(4z - 3x)$ и $(3x - 4z)$ отличаются только знаком. Можно записать $3x - 4z = -(4z - 3x)$.

$5z(4z - 3x) - y(4z - 3x)$

Теперь вынесем общий множитель $(4z - 3x)$ за скобки:

$(4z - 3x)(5z - y)$

Ответ: $(4z - 3x)(5z - y)$.

3) $0,027a^{12} + b^9$

Это выражение представляет собой сумму кубов. Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Представим каждое слагаемое в виде куба:

$0,027a^{12} = (0,3)^3 \cdot (a^4)^3 = (0,3a^4)^3$

$b^9 = (b^3)^3$

Теперь у нас есть $x = 0,3a^4$ и $y = b^3$. Подставим их в формулу суммы кубов:

$(0,3a^4 + b^3)((0,3a^4)^2 - (0,3a^4)(b^3) + (b^3)^2)$

Выполним возведение в степень и умножение во второй скобке:

$(0,3a^4 + b^3)(0,09a^8 - 0,3a^4b^3 + b^6)$

Ответ: $(0,3a^4 + b^3)(0,09a^8 - 0,3a^4b^3 + b^6)$.