Номер 787, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §20. Связи между величинами. Функция - номер 787, страница 146.

Условие.

787. (Задача из «Теоретического и практического курса чистой математики» Е. Войтяховского¹.) Капитан на вопрос, сколько у него в команде людей, ответил, что $\frac{2}{5}$ его команды в карауле, $\frac{2}{7}$ на работе, $\frac{1}{4}$ в лазарете и 27 человек в наличии. Вопрос: сколько человек было в его команде?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения задачи обозначим общее количество человек в команде переменной $x$.

Согласно условию, части команды распределены следующим образом:
- $\frac{2}{5}$ команды в карауле, то есть $\frac{2}{5}x$ человек.
- $\frac{2}{7}$ команды на работе, то есть $\frac{2}{7}x$ человек.
- $\frac{1}{4}$ команды в лазарете, то есть $\frac{1}{4}x$ человек.
- 27 человек в наличии.

Сумма всех этих частей должна быть равна общей численности команды. Составим уравнение: $$ \frac{2}{5}x + \frac{2}{7}x + \frac{1}{4}x + 27 = x $$

Сначала найдем, какая доля команды занята в карауле, на работе или находится в лазарете. Для этого сложим соответствующие дроби: $$ \frac{2}{5} + \frac{2}{7} + \frac{1}{4} $$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 5, 7 и 4 равно $5 \cdot 7 \cdot 4 = 140$. $$ \frac{2 \cdot 28}{140} + \frac{2 \cdot 20}{140} + \frac{1 \cdot 35}{140} = \frac{56 + 40 + 35}{140} = \frac{131}{140} $$

Таким образом, $\frac{131}{140}$ всей команды отсутствует по разным причинам. Следовательно, 27 человек, которые находятся в наличии, составляют оставшуюся часть команды. Вычислим эту часть: $$ 1 - \frac{131}{140} = \frac{140}{140} - \frac{131}{140} = \frac{9}{140} $$

Теперь мы знаем, что 27 человек составляют $\frac{9}{140}$ от всей команды. Можем найти общую численность $x$: $$ \frac{9}{140}x = 27 $$

Для нахождения $x$ разделим 27 на дробь $\frac{9}{140}$: $$ x = 27 \div \frac{9}{140} = 27 \cdot \frac{140}{9} $$ Сократив 27 и 9, получаем: $$ x = 3 \cdot 140 = 420 $$

Следовательно, всего в команде было 420 человек.

Выполним проверку:
В карауле: $\frac{2}{5} \cdot 420 = 2 \cdot 84 = 168$ человек.
На работе: $\frac{2}{7} \cdot 420 = 2 \cdot 60 = 120$ человек.
В лазарете: $\frac{1}{4} \cdot 420 = 105$ человек.
В наличии: 27 человек.
Общее число: $168 + 120 + 105 + 27 = 420$ человек.
Проверка подтверждает правильность решения.

Ответ: 420 человек.