Номер 788, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §20. Связи между величинами. Функция - номер 788, страница 147.

Условие.

788. Натуральные числа $x$ и $y$ таковы, что $34x = 43y$. Докажите, что число $x + y$ составное.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

По условию, $x$ и $y$ — натуральные числа, для которых выполняется равенство $34x = 43y$.

Проанализируем коэффициенты в уравнении. Число 34 можно разложить на множители: $34 = 2 \cdot 17$. Число 43 является простым. Поскольку у чисел 34 и 43 нет общих простых делителей, они являются взаимно простыми, то есть их наибольший общий делитель равен 1: $НОД(34, 43) = 1$.

Из равенства $34x = 43y$ следует, что произведение $34x$ делится на 43. Так как 34 и 43 взаимно просты, то по свойству делимости (лемма Евклида) на 43 должно делиться число $x$. Это означает, что $x$ можно представить в виде $x = 43k$, где $k$ — некоторое натуральное число (так как по условию $x$ — натуральное).

Теперь подставим это выражение для $x$ в исходное равенство:

$34 \cdot (43k) = 43y$

Разделим обе части этого равенства на 43:

$34k = y$

Таким образом, мы установили, что для любого натурального числа $k$ пара чисел $x = 43k$ и $y = 34k$ является решением исходного уравнения в натуральных числах.

Теперь найдем сумму $x + y$, которую нужно исследовать:

$x + y = 43k + 34k = (43 + 34)k = 77k$

Нам необходимо доказать, что число $x + y$ является составным. Напомним, что составное число — это натуральное число, большее 1, которое имеет хотя бы один делитель, отличный от 1 и самого себя.

Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа, $k$ также должно быть натуральным числом, то есть $k \ge 1$. Это означает, что наименьшее возможное значение суммы $x + y$ достигается при $k=1$ и равно 77.

Число $x+y = 77k$ можно разложить на множители: $77k = 7 \cdot 11 \cdot k$.

При $k=1$, $x+y=77$. Число 77 является составным, так как оно делится на 7 и 11.

При $k > 1$, число $x+y = 77k$ также является составным, так как оно имеет делители 7, 11, $k$ и 77, которые очевидно отличны от 1 и от самого числа $77k$.

Следовательно, для любого натурального $k$ число $x+y$ является составным, что и требовалось доказать.

Ответ: Число $x+y$ равно $77k$ для некоторого натурального $k$. Так как $77=7 \cdot 11$ - составное число, то и $x+y$ является составным при любом натуральном $k$.