Номер 876, страница 169 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §23. Линейная функция, её график и свойства - номер 876, страница 169.

Условие.

876. При каком значении переменной x функции $f(x) = 4x - 3$ и $g(x) = 3x - 2$ принимают равные значения? Постройте на одной координатной плоскости графики функций f и g. Определите, при каких значениях x:

1) $f(x) > g(x)$;

2) $f(x) < g(x)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы найти значение переменной $x$, при котором функции $f(x) = 4x - 3$ и $g(x) = 3x - 2$ принимают равные значения, необходимо решить уравнение $f(x) = g(x)$.

$4x - 3 = 3x - 2$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую:

$4x - 3x = 3 - 2$

$x = 1$

Таким образом, функции принимают равные значения при $x = 1$. Значение функций в этой точке: $f(1) = 4(1) - 3 = 1$ и $g(1) = 3(1) - 2 = 1$.

Теперь построим графики функций $f(x)$ и $g(x)$ на одной координатной плоскости. Обе функции являются линейными, их графики — прямые линии. Для построения прямой достаточно двух точек.

Для графика функции $f(x) = 4x - 3$ найдем две точки:

• При $x = 0$, $f(0) = 4 \cdot 0 - 3 = -3$. Получаем точку $(0, -3)$.
• При $x = 1$, $f(1) = 4 \cdot 1 - 3 = 1$. Получаем точку $(1, 1)$.

Для графика функции $g(x) = 3x - 2$ найдем две точки:

• При $x = 0$, $g(0) = 3 \cdot 0 - 2 = -2$. Получаем точку $(0, -2)$.
• При $x = 1$, $g(1) = 3 \cdot 1 - 2 = 1$. Получаем точку $(1, 1)$.

Графики обеих функций — это прямые, которые пересекаются в точке $(1, 1)$. График $f(x)$ имеет больший угловой коэффициент ($k=4$) по сравнению с графиком $g(x)$ ($k=3$), поэтому он идет "круче".

Теперь определим, при каких значениях $x$ выполняются неравенства, используя как алгебраическое решение, так и графическую интерпретацию.

1) f(x) > g(x)
Решим неравенство $4x - 3 > 3x - 2$:

$4x - 3x > 3 - 2$

$x > 1$

Графически это неравенство выполняется, когда график функции $f(x)$ расположен выше графика функции $g(x)$. Это происходит для всех значений $x$ справа от точки их пересечения, то есть при $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

2) f(x) < g(x)
Решим неравенство $4x - 3 < 3x - 2$:

$4x - 3x < 3 - 2$

$x < 1$

Графически это неравенство выполняется, когда график функции $f(x)$ расположен ниже графика функции $g(x)$. Это происходит для всех значений $x$ слева от точки их пересечения, то есть при $x < 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.