Номер 877, страница 169 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §23. Линейная функция, её график и свойства - номер 877, страница 169.

Условие.

877. При каком значении независимой переменной функции $f(x)=5-2x$ и $g(x)=2x-3$ принимают равные значения? Построив на одной координатной плоскости графики данных функций, установите, при каких значениях $x$:

1) $f(x) < g(x)$;

2) $f(x) > g(x)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы найти значение независимой переменной, при котором функции $f(x) = 5 - 2x$ и $g(x) = 2x - 3$ принимают равные значения, необходимо приравнять их выражения:

$f(x) = g(x)$

$5 - 2x = 2x - 3$

Для решения этого уравнения перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну часть, а постоянные члены — в другую:

$5 + 3 = 2x + 2x$

$8 = 4x$

$x = \frac{8}{4}$

$x = 2$

Таким образом, функции принимают равные значения при $x = 2$.

Далее, построим графики данных функций на одной координатной плоскости. Обе функции являются линейными, их графики — прямые. Для построения прямой достаточно двух точек.

Для графика функции $f(x) = 5 - 2x$ (убывающая прямая):

• При $x = 0$, $f(0) = 5 - 2 \cdot 0 = 5$. Точка (0; 5).
• При $x = 2$, $f(2) = 5 - 2 \cdot 2 = 1$. Точка (2; 1).

Для графика функции $g(x) = 2x - 3$ (возрастающая прямая):

• При $x = 0$, $g(0) = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка (0; -3).
• При $x = 2$, $g(2) = 2 \cdot 2 - 3 = 1$. Точка (2; 1).

Точка пересечения графиков — (2; 1), что подтверждает наше аналитическое решение.

Теперь, основываясь на графиках, установим, при каких значениях $x$ выполняются неравенства.

1) $f(x) < g(x)$

Неравенство $f(x) < g(x)$ выполняется на тех промежутках, где график функции $f(x)$ расположен ниже графика функции $g(x)$. Глядя на построенные графики, видим, что это происходит справа от точки их пересечения, то есть при значениях $x$, больших абсциссы точки пересечения.

Аналитически:

$5 - 2x < 2x - 3$

$8 < 4x$

$2 < x$

Ответ: $x \in (2; +\infty)$

2) $f(x) > g(x)$

Неравенство $f(x) > g(x)$ выполняется на тех промежутках, где график функции $f(x)$ расположен выше графика функции $g(x)$. Глядя на построенные графики, видим, что это происходит слева от точки их пересечения, то есть при значениях $x$, меньших абсциссы точки пересечения.

Аналитически:

$5 - 2x > 2x - 3$

$8 > 4x$

$2 > x$

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$