Номер 1.15, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Вычислите наиболее рациональным способом:

1.15 a) $\frac{1}{2} + 2\frac{2}{3} + 1\frac{1}{2} + 1\frac{1}{3};$

б) $\left(\frac{3}{14} - \frac{2}{7} + \frac{1}{2}\right) \cdot 14;$

в) $3\frac{2}{5} \cdot 2\frac{3}{7} \cdot 5 \cdot 7;$

г) $\left(12\frac{2}{9} + 24\frac{2}{3} - 16\frac{2}{15}\right) : 2.$

а) $ \frac{1}{2} + 2\frac{2}{3} + 1\frac{1}{2} + 1\frac{1}{3} $

Наиболее рациональный способ — сгруппировать слагаемые с одинаковыми знаменателями дробей, используя переместительное и сочетательное свойства сложения. Также можно отдельно сложить целые и дробные части.

$ \frac{1}{2} + 2\frac{2}{3} + 1\frac{1}{2} + 1\frac{1}{3} = (\frac{1}{2} + 1\frac{1}{2}) + (2\frac{2}{3} + 1\frac{1}{3}) $

Сначала сложим числа с дробной частью $\frac{1}{2}$:

$ \frac{1}{2} + 1\frac{1}{2} = 1 + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2 $

Теперь сложим числа с дробной частью $\frac{1}{3}$:

$ 2\frac{2}{3} + 1\frac{1}{3} = (2+1) + (\frac{2}{3} + \frac{1}{3}) = 3 + \frac{3}{3} = 3+1 = 4 $

Сложим полученные результаты:

$ 2 + 4 = 6 $

Ответ: $6$

б) $ (\frac{3}{14} - \frac{2}{7} + \frac{1}{2}) \cdot 14 $

Наиболее рациональный способ — использовать распределительное свойство умножения. Умножим каждый член в скобках на 14.

$ (\frac{3}{14} - \frac{2}{7} + \frac{1}{2}) \cdot 14 = \frac{3}{14} \cdot 14 - \frac{2}{7} \cdot 14 + \frac{1}{2} \cdot 14 $

Выполним умножение для каждого слагаемого:

$ \frac{3 \cdot 14}{14} - \frac{2 \cdot 14}{7} + \frac{1 \cdot 14}{2} = 3 - (2 \cdot 2) + 7 $

Теперь выполним вычитание и сложение:

$ 3 - 4 + 7 = -1 + 7 = 6 $

Ответ: $6$

в) $ 3\frac{2}{5} \cdot 2\frac{3}{7} \cdot 5 \cdot 7 $

Наиболее рациональный способ — сначала преобразовать смешанные числа в неправильные дроби, а затем использовать переместительное и сочетательное свойства умножения, чтобы сгруппировать множители для сокращения.

Преобразуем смешанные числа:

$ 3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5} $

$ 2\frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{17}{7} $

Подставим обратно в выражение и сгруппируем множители:

$ \frac{17}{5} \cdot \frac{17}{7} \cdot 5 \cdot 7 = (\frac{17}{5} \cdot 5) \cdot (\frac{17}{7} \cdot 7) $

Выполним сокращение и умножение:

$ 17 \cdot 17 = 289 $

Ответ: $289$

г) $ (12\frac{2}{9} + 24\frac{2}{3} - 16\frac{2}{15}) : 2 $

Наиболее рациональный способ — использовать распределительное свойство деления. Разделим каждый член в скобках на 2.

$ (12\frac{2}{9} + 24\frac{2}{3} - 16\frac{2}{15}) : 2 = 12\frac{2}{9} : 2 + 24\frac{2}{3} : 2 - 16\frac{2}{15} : 2 $

Разделим каждое слагаемое. Для этого можно разделить целую и дробную часть смешанного числа на 2 по отдельности:

$ 12\frac{2}{9} : 2 = (12 + \frac{2}{9}) : 2 = 12:2 + \frac{2}{9}:2 = 6 + \frac{1}{9} = 6\frac{1}{9} $

$ 24\frac{2}{3} : 2 = (24 + \frac{2}{3}) : 2 = 24:2 + \frac{2}{3}:2 = 12 + \frac{1}{3} = 12\frac{1}{3} $

$ 16\frac{2}{15} : 2 = (16 + \frac{2}{15}) : 2 = 16:2 + \frac{2}{15}:2 = 8 + \frac{1}{15} = 8\frac{1}{15} $

Теперь выполним сложение и вычитание полученных чисел:

$ 6\frac{1}{9} + 12\frac{1}{3} - 8\frac{1}{15} $

Сложим и вычтем целые части отдельно, а дробные — отдельно:

$ (6+12-8) + (\frac{1}{9} + \frac{1}{3} - \frac{1}{15}) $

Целая часть: $6+12-8 = 10$.

Дробная часть: $\frac{1}{9} + \frac{1}{3} - \frac{1}{15}$. Общий знаменатель для 9, 3 и 15 — это 45.

$ \frac{1 \cdot 5}{45} + \frac{1 \cdot 15}{45} - \frac{1 \cdot 3}{45} = \frac{5+15-3}{45} = \frac{17}{45} $

Соединяем целую и дробную части:

$ 10 + \frac{17}{45} = 10\frac{17}{45} $

Ответ: $10\frac{17}{45}$