Номер 2.13, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

2.13 a) $a \cdot 0 = 0;$

б) $\frac{0}{a} = 0$, где $a \neq 0;$

в) $\frac{a}{1} = a;$

г) $a \cdot \frac{1}{a} = 1$, где $a \neq 0.$

а)

Это равенство является фундаментальным свойством умножения, которое называется свойством умножения на ноль. Оно утверждает, что произведение любого числа $a$ на ноль всегда равно нулю.

Можно рассуждать так: умножение $a \cdot n$ — это сумма $n$ слагаемых, каждое из которых равно $a$. Например, $a \cdot 3 = a + a + a$. Если мы умножаем $a$ на 0, это означает, что мы должны взять $a$ ноль раз. Сумма, в которой нет слагаемых, по определению равна нулю. Таким образом, $a \cdot 0 = 0$.

Ответ: Равенство $a \cdot 0 = 0$ является одним из основных свойств умножения и верно для любого числа $a$.

б)

Чтобы доказать равенство $\frac{0}{a} = 0$ (при условии, что $a \neq 0$), воспользуемся определением деления. Деление является операцией, обратной умножению.

Если мы обозначим результат деления $\frac{0}{a}$ через $x$, то получим равенство $\frac{0}{a} = x$. Согласно определению деления, это равносильно тому, что $x \cdot a = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. По условию задачи, нам дано, что $a \neq 0$. Следовательно, для того чтобы равенство $x \cdot a = 0$ выполнялось, необходимо, чтобы другой множитель, $x$, был равен нулю.

Таким образом, $x = 0$, а значит и $\frac{0}{a} = 0$. Условие $a \neq 0$ является обязательным, так как деление на ноль не определено.

Ответ: Деление нуля на любое число, не равное нулю, в результате дает ноль.

в)

Данное равенство $\frac{a}{1} = a$ демонстрирует свойство деления на единицу. Как и в предыдущем пункте, воспользуемся определением деления.

Пусть частное от деления $a$ на 1 равно $x$, то есть $\frac{a}{1} = x$. Это эквивалентно записи умножения: $x \cdot 1 = a$.

Число 1 является нейтральным элементом для операции умножения (или мультипликативной единицей). Это означает, что умножение любого числа на 1 не изменяет это число. Поэтому из равенства $x \cdot 1 = a$ напрямую следует, что $x$ должен быть равен $a$.

Следовательно, мы доказали, что $\frac{a}{1} = a$.

Ответ: При делении любого числа $a$ на 1 получается само число $a$.

г)

Равенство $a \cdot \frac{1}{a} = 1$ (при $a \neq 0$) определяет понятие обратного числа.

По определению, число $b$ является обратным к числу $a$, если их произведение равно единице: $a \cdot b = 1$. Для любого ненулевого числа $a$ обратным числом является $\frac{1}{a}$. Таким образом, равенство $a \cdot \frac{1}{a} = 1$ верно по определению обратного числа.

Также это можно показать через умножение дробей. Представим число $a$ как дробь со знаменателем 1: $a = \frac{a}{1}$. Тогда произведение будет выглядеть так:

$a \cdot \frac{1}{a} = \frac{a}{1} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a \cdot 1}{1 \cdot a} = \frac{a}{a}$

Так как по условию $a \neq 0$, то при делении числа на само себя мы получаем 1. Значит, $\frac{a}{a} = 1$.

Ответ: Произведение любого ненулевого числа $a$ на обратное ему число $\frac{1}{a}$ равно 1.