Номер 3.7, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

3.7 Первый рабочий выполняет задание за $t$ ч, а второй такое же задание — за $v$ ч, при этом первый работает на 3 ч больше, чем второй.

Для решения задачи введем понятие производительности труда. Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени. Примем всю работу за 1.

Производительность первого рабочего составляет $P_1 = \frac{1}{t}$ задания в час.

Производительность второго рабочего составляет $P_2 = \frac{1}{v}$ задания в час.

Из условия известно, что первый рабочий работал на 3 часа больше, чем второй. Обозначим время работы второго рабочего за $x$ часов. Тогда время работы первого рабочего составит $(x+3)$ часа.

а) Какую часть задания выполнил каждый рабочий, если второй работал $x$ ч?
Чтобы найти часть выполненного задания (работу), нужно производительность умножить на время работы.
Часть задания, выполненная первым рабочим:
$A_1 = P_1 \times T_1 = \frac{1}{t} \times (x+3) = \frac{x+3}{t}$
Часть задания, выполненная вторым рабочим:
$A_2 = P_2 \times T_2 = \frac{1}{v} \times x = \frac{x}{v}$
Ответ: Первый рабочий выполнил $\frac{x+3}{t}$ часть задания, а второй — $\frac{x}{v}$ часть задания.

б) Составьте уравнение, если известно, что, работая вместе, они выполнили все задание.
Если рабочие вместе выполнили все задание, то сумма выполненных ими частей задания равна 1:
$A_1 + A_2 = 1$
Подставим выражения для $A_1$ и $A_2$ из предыдущего пункта:
$\frac{x+3}{t} + \frac{x}{v} = 1$
Это и есть искомое уравнение, связывающее переменные $x$, $t$ и $v$.
Ответ: $\frac{x+3}{t} + \frac{x}{v} = 1$.

в) Выразите из полученного уравнения $x$ через $t$ и $v$ и определите, при каких условиях задача имеет решение.
Решим уравнение относительно $x$:
$\frac{x+3}{t} + \frac{x}{v} = 1$
Приведем левую часть к общему знаменателю $tv$:
$\frac{v(x+3) + t x}{tv} = 1$
Умножим обе части уравнения на $tv$:
$v(x+3) + tx = tv$
Раскроем скобки:
$vx + 3v + tx = tv$
Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$:
$vx + tx = tv - 3v$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(v+t) = v(t-3)$
Выразим $x$:
$x = \frac{v(t-3)}{t+v}$
Задача имеет физический смысл, если время работы $x$ является положительной величиной, т.е. $x > 0$.
Так как время $t$ и $v$ по определению положительны ($t>0, v>0$), знаменатель дроби $(t+v)$ всегда положителен.
Следовательно, для того чтобы $x>0$, числитель дроби $v(t-3)$ также должен быть положителен.
Поскольку $v>0$, необходимо, чтобы выполнялось неравенство $t-3>0$, то есть $t>3$.
Таким образом, задача имеет решение только в том случае, если время, за которое первый рабочий выполняет все задание в одиночку, больше 3 часов.
Ответ: $x = \frac{v(t-3)}{t+v}$; задача имеет решение при $t > 3$.