Номер 2.23, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

2.23 а) Чтобы найти число $b$, составляющее $p$ % от числа $a$, надо умножить число $a$ на $p$ и разделить полученное произведение на 100;

б) чтобы найти число $a$, зная, что $p$ % от него равны числу $b$, надо число $b$ умножить на 100 и полученное произведение разделить на $p$;

в) в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних;

г) если в верной пропорции поменять местами средние или крайние члены, то полученные пропорции также верны.

а)

Процент (обозначается знаком %) — это одна сотая часть от какого-либо числа. Таким образом, $p\%$ можно представить в виде дроби $\frac{p}{100}$.

Чтобы найти часть от числа, необходимо это число умножить на дробь, которая выражает данную часть. Следовательно, для нахождения числа $b$, составляющего $p\%$ от числа $a$, нужно $a$ умножить на $\frac{p}{100}$.

Запишем это в виде математического выражения:
$b = a \cdot \frac{p}{100}$

Данное выражение эквивалентно следующему:
$b = \frac{a \cdot p}{100}$

Эта формула полностью соответствует словесному правилу: "умножить число $a$ на $p$ и разделить полученное произведение на 100". Следовательно, утверждение является верным.

Ответ: Утверждение верно, формула для расчета: $b = \frac{a \cdot p}{100}$.

б)

Данная задача является обратной по отношению к предыдущей. Мы исходим из того же соотношения между числами $a$, $b$ и процентом $p$:
$b = \frac{a \cdot p}{100}$

Наша цель — выразить из этого уравнения число $a$. Для этого выполним следующие алгебраические преобразования.

1. Чтобы избавиться от знаменателя в правой части, умножим обе части уравнения на 100:
$b \cdot 100 = \frac{a \cdot p}{100} \cdot 100$
$b \cdot 100 = a \cdot p$

2. Чтобы найти $a$, разделим обе части полученного уравнения на $p$ (при условии, что $p \neq 0$):
$\frac{b \cdot 100}{p} = \frac{a \cdot p}{p}$
$a = \frac{b \cdot 100}{p}$

Полученная формула соответствует словесному правилу: "надо число $b$ умножить на 100 и полученное произведение разделить на $p$". Следовательно, утверждение является верным.

Ответ: Утверждение верно, формула для расчета: $a = \frac{b \cdot 100}{p}$.

в)

Пропорцией называется равенство двух отношений. В общем виде пропорция записывается как $a : b = c : d$ или в виде равенства дробей:
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

В этой записи числа $a$ и $d$ называются крайними членами пропорции, а числа $b$ и $c$ — средними членами.

Утверждение, что произведение крайних членов равно произведению средних, является основным свойством пропорции. Докажем его.

Возьмем верную пропорцию $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Умножим обе части этого равенства на произведение знаменателей $b \cdot d$ (подразумевая, что $b \neq 0$ и $d \neq 0$):
$\frac{a}{b} \cdot (b \cdot d) = \frac{c}{d} \cdot (b \cdot d)$

После сокращения дробей в левой части сократится $b$, а в правой — $d$:
$a \cdot d = c \cdot b$

Мы доказали, что произведение крайних членов ($a \cdot d$) равно произведению средних ($b \cdot c$).

Ответ: Утверждение верно. Для верной пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ справедливо равенство $a \cdot d = b \cdot c$.

г)

Рассмотрим верную пропорцию $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Как мы доказали в предыдущем пункте, для нее выполняется основное свойство: $a \cdot d = b \cdot c$. Проверим, сохраняется ли верность пропорции при перестановке ее членов.

1. Перестановка средних членов. Поменяем местами средние члены $b$ и $c$. Новая пропорция будет выглядеть так: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$. Чтобы проверить ее верность, нужно убедиться, что произведение ее крайних членов ($a \cdot d$) равно произведению средних ($c \cdot b$). Равенство $a \cdot d = c \cdot b$ является истинным, так как это основное свойство исходной пропорции. Значит, полученная пропорция верна.

2. Перестановка крайних членов. Теперь поменяем местами крайние члены $a$ и $d$. Получим пропорцию: $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$. Проверим ее верность: произведение ее крайних членов ($d \cdot a$) должно быть равно произведению средних ($b \cdot c$). Равенство $d \cdot a = b \cdot c$ также является истинным, так как оно эквивалентно основному свойству исходной пропорции. Значит, эта пропорция тоже верна.

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение верно. Если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ — верная пропорция, то пропорции $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ (перестановка средних членов) и $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$ (перестановка крайних членов) также верны.