Номер 2.21, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

2.21 a) Величина дроби не изменится, если её числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, не равное нулю;

б) величина дроби не изменится, если её числитель и знаменатель разделить на одно и то же число, не равное нулю;

в) чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить отдельно числители и знаменатели, первое произведение взять в качестве числителя результата, а второе — в качестве его знаменателя;

г) чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

а) Это утверждение является основным свойством дроби. Пусть дана дробь $ \frac{a}{b} $, где $a$ — числитель, а $b$ — знаменатель ($b \ne 0$). Если умножить числитель и знаменатель на одно и то же число $c$ ($c \ne 0$), мы получим новую дробь $ \frac{a \cdot c}{b \cdot c} $. Так как $ \frac{c}{c} = 1 $, то $ \frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{c} = \frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b} $. Величина дроби не изменилась. Например, если взять дробь $ \frac{1}{2} $ и умножить ее числитель и знаменатель на 3, получим $ \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} $. Дроби $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{3}{6} $ равны. Утверждение верно.
Ответ: утверждение верно.

б) Это утверждение также является следствием основного свойства дроби и описывает процесс сокращения дробей. Пусть дана дробь $ \frac{a}{b} $, где $a$ — числитель, а $b$ — знаменатель ($b \ne 0$). Если разделить числитель и знаменатель на одно и то же число $c$ ($c \ne 0$), мы получим новую дробь $ \frac{a/c}{b/c} $. Эту сложную дробь можно записать как $ \frac{a}{c} \div \frac{b}{c} $. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй: $ \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{b} = \frac{a \cdot c}{c \cdot b} = \frac{a}{b} $. Величина дроби не изменилась. Например, если взять дробь $ \frac{4}{8} $ и разделить ее числитель и знаменатель на 4, получим $ \frac{4 \div 4}{8 \div 4} = \frac{1}{2} $. Дроби $ \frac{4}{8} $ и $ \frac{1}{2} $ равны. Утверждение верно.
Ответ: утверждение верно.

в) Это утверждение описывает правило умножения обыкновенных дробей. Пусть даны две дроби $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{c}{d} $ ($b \ne 0, d \ne 0$). Их произведение вычисляется по формуле: $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $. То есть, числитель результирующей дроби равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей. Например, $ \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15} $. Утверждение точно формулирует это правило. Утверждение верно.
Ответ: утверждение верно.

г) Это утверждение описывает правило деления обыкновенных дробей. Чтобы разделить одну дробь (делимое) на другую (делитель), нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю. Пусть нам нужно разделить дробь $ \frac{a}{b} $ (делимое) на дробь $ \frac{c}{d} $ (делитель), где $b \ne 0, c \ne 0, d \ne 0$. Дробь, обратная делителю $ \frac{c}{d} $, — это $ \frac{d}{c} $. Согласно правилу, операция деления заменяется умножением на обратную дробь: $ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} $. Например, $ \frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $. Утверждение верно.
Ответ: утверждение верно.