Номер 6.4, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

6.4 Для вариантов № 1 и 2 контрольной работы учителю надо выбрать по одному из следующих уравнений (в разных вариантах уравнения должны быть различными):

$x + (x - 5) = 15;$

$8x - x = 21;$

$2 - 7(x + 2) = 6(x - 2);$

$5(x + 2) - 6(x - 2) = 5.$

$3(2 - x) - 1 = 5 - 7x;$

а) Сколько всего способов такого выбора существует?

б) Сколько всего способов такого выбора существует, если в обоих вариантах корень уравнения должен быть отличен от 0?

в) Сколько всего способов такого выбора существует, если хотя бы в одном из вариантов корень уравнения должен быть отличен от 0?

г) Сколько всего существует способов выбора различных уравнений для составления трёх вариантов контрольной работы?

Для решения задачи сначала найдем корни всех предложенных уравнений. Всего дано 5 уравнений.

1. $x + (x - 5) = 15$
$2x - 5 = 15$
$2x = 20$
$x = 10$ (корень не равен 0)

2. $8x - x = 21$
$7x = 21$
$x = 3$ (корень не равен 0)

3. $2 - 7(x + 2) = 6(x - 2)$
$2 - 7x - 14 = 6x - 12$
$-12 - 7x = 6x - 12$
$-13x = 0$
$x = 0$ (корень равен 0)

4. $5(x + 2) - 6(x - 2) = 5$
$5x + 10 - 6x + 12 = 5$
$-x + 22 = 5$
$-x = -17$
$x = 17$ (корень не равен 0)

5. $3(2 - x) - 1 = 5 - 7x$
$6 - 3x - 1 = 5 - 7x$
$5 - 3x = 5 - 7x$
$4x = 0$
$x = 0$ (корень равен 0)

Таким образом, у нас есть 5 уравнений: 3 уравнения с корнем, отличным от нуля ($x=10$, $x=3$, $x=17$), и 2 уравнения с корнем, равным нулю.

а) Сколько всего способов такого выбора существует?

Нужно выбрать 2 разных уравнения из 5 для составления двух вариантов контрольной работы (Вариант 1 и Вариант 2). Так как варианты различны, порядок выбора уравнений важен. Это задача на нахождение числа размещений без повторений из 5 элементов по 2.

Для первого варианта можно выбрать любое из 5 уравнений. Для второго варианта останется 4 уравнения на выбор.

Число способов вычисляется по формуле $A_n^k = n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1)$.В нашем случае $n=5, k=2$.

Число способов: $A_5^2 = 5 \times 4 = 20$.

Ответ: 20

б) Сколько всего способов такого выбора существует, если в обоих вариантах корень уравнения должен быть отличен от 0?

У нас есть 3 уравнения с корнями, отличными от 0. Нужно выбрать 2 разных уравнения из этих 3. Порядок выбора важен.

Для первого варианта есть 3 выбора, для второго — 2.

Число способов: $A_3^2 = 3 \times 2 = 6$.

Ответ: 6

в) Сколько всего способов такого выбора существует, если хотя бы в одном из вариантов корень уравнения должен быть отличен от 0?

Эту задачу удобно решить, используя метод от противного. Найдем общее число способов выбора двух уравнений и вычтем из него число способов, при которых условие не выполняется.

Условие "хотя бы в одном варианте корень отличен от 0" не выполняется только в том случае, если в обоих вариантах корни уравнений равны 0.

Общее число способов выбора (из пункта а) равно 20.

Найдем число способов, когда оба выбранных уравнения имеют корень, равный 0. У нас есть 2 таких уравнения. Нужно выбрать 2 из них, порядок важен.

Число способов для "невыполнения условия": $A_2^2 = 2 \times 1 = 2$.

Искомое число способов равно разности: $20 - 2 = 18$.

Ответ: 18

г) Сколько всего существует способов выбора различных уравнений для составления трёх вариантов контрольной работы?

Теперь нужно выбрать 3 различных уравнения из 5 для трёх разных вариантов. Порядок выбора важен.

Для первого варианта есть 5 выборов, для второго — 4, для третьего — 3.

Число способов: $A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Ответ: 60