Номер 5.39, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Математический язык. Математическая модель. Параграф 5. Координатная прямая - номер 5.39, страница 31.

Условие.

5.39 Обоснуйте с помощью координатной прямой утверждение: если $a > b$, то $-a < -b$. Рассмотрите следующие случаи:

а) $a$ и $b$ — положительные числа;

б) $a$ и $b$ — отрицательные числа;

в) $a$ — положительное число, $b$ — отрицательное число;

г) $a = 0, b$ — отрицательное число.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

а) a и b — положительные числа;
Если $a > b$ и оба числа положительны, то на координатной прямой точка $a$ находится правее точки $b$, и обе они находятся правее нуля. При этом точка $a$ расположена дальше от нуля, чем точка $b$. Например, $a=5, b=2$.

Числа $-a$ и $-b$ являются противоположными числам $a$ и $b$. На координатной прямой они получаются симметричным отражением точек $a$ и $b$ относительно нуля. Так как $a$ и $b$ положительны, то $-a$ и $-b$ будут отрицательными. Точка $a$, которая была дальше от нуля справа, станет точкой $-a$, которая будет дальше от нуля слева. Точка $b$, которая была ближе к нулю справа, станет точкой $-b$, которая будет ближе к нулю слева. Таким образом, точка $-a$ окажется левее точки $-b$. А это означает, что $-a < -b$. Для нашего примера: $-a=-5, -b=-2$, и действительно $-5 < -2$.


Ответ: Утверждение верно.

б) a и b — отрицательные числа;
Если $a > b$ и оба числа отрицательны, то на координатной прямой точка $a$ находится правее точки $b$, то есть ближе к нулю. Например, $a=-2, b=-5$.

Противоположные числа $-a$ и $-b$ будут положительными. Они получаются отражением точек $a$ и $b$ относительно нуля. Точка $a$, которая была ближе к нулю слева, станет точкой $-a$, которая будет ближе к нулю справа. Точка $b$, которая была дальше от нуля слева, станет точкой $-b$, которая будет дальше от нуля справа. Поэтому точка $-a$ окажется левее точки $-b$. Это означает, что $-a < -b$. Для нашего примера: $-a=2, -b=5$, и действительно $2 < 5$.


Ответ: Утверждение верно.

в) a — положительное число, b — отрицательное число;
В этом случае неравенство $a > b$ выполняется всегда, так как любое положительное число больше любого отрицательного. На координатной прямой точка $a$ находится правее нуля, а точка $b$ — левее нуля. Например, $a=3, b=-4$.

Противоположное число $-a$ будет отрицательным (симметрично $a$ относительно нуля). Противоположное число $-b$ будет положительным (симметрично $b$ относительно нуля). Любое отрицательное число (в данном случае $-a$) всегда меньше любого положительного числа (в данном случае $-b$). Следовательно, $-a < -b$. Для нашего примера: $-a=-3, -b=4$, и действительно $-3 < 4$.


Ответ: Утверждение верно.

г) a = 0, b — отрицательное число.
Если $a=0$, а $b$ — отрицательное число, то неравенство $a > b$ выполняется, так как $0$ больше любого отрицательного числа. На координатной прямой точка $a$ совпадает с нулем, а точка $b$ находится левее нуля. Например, $a=0, b=-3$.

Противоположное число для $a=0$ есть $-a=0$. Противоположное число для отрицательного $b$ есть положительное число $-b$. На координатной прямой точка $-a$ останется в нуле, а точка $-b$ окажется правее нуля. Таким образом, точка $-a$ находится левее точки $-b$, что означает $-a < -b$. Для нашего примера: $-a=0, -b=3$, и действительно $0 < 3$.


Ответ: Утверждение верно.