Номер 5.40, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

5.40 Дана точка $M(1,5)$. Найдите координаты точек $L$ и $N$ таких, что $MN = 2ML$, если $NL = 10.5$. Сколько решений имеет задача?

Для решения задачи проанализируем взаимное расположение точек $M$, $L$ и $N$. Условия $MN = 2ML$ и $NL = 10.5$ связывают расстояния между тремя точками. По неравенству треугольника, три точки лежат на одной прямой, если расстояние между двумя крайними точками равно сумме расстояний от них до третьей точки, лежащей между ними. Рассмотрим возможные случаи расположения точек на прямой.

1. Точка M лежит на отрезке LN.
В этом случае расстояние $LN$ равно сумме расстояний $LM$ и $MN$: $LN = LM + MN$. Подставив известные значения и соотношения, получим: $10.5 = ML + 2ML$ $10.5 = 3ML$ Отсюда находим длины отрезков: $ML = 10.5 / 3 = 3.5$ $MN = 2 \cdot ML = 2 \cdot 3.5 = 7$ Этот случай является возможным, так как $ML + MN = 3.5 + 7 = 10.5 = NL$.

В этом случае точка $L$ может быть любой точкой, лежащей на окружности с центром в $M(1, 5)$ и радиусом $R_L = 3.5$. Уравнение этой окружности для координат $L(x_L, y_L)$: $(x_L - 1)^2 + (y_L - 5)^2 = 3.5^2 = 12.25$

Точка $N$ должна лежать на той же прямой, что и $L$ и $M$, но по другую сторону от $M$. Расстояние от $M$ до $N$ равно $7$. Таким образом, точка $N(x_N, y_N)$ лежит на окружности с центром в $M(1, 5)$ и радиусом $R_N = 7$: $(x_N - 1)^2 + (y_N - 5)^2 = 7^2 = 49$

Координаты точки $N$ однозначно определяются выбором точки $L$. Вектор $\vec{MN}$ противоположен вектору $\vec{ML}$ и вдвое длиннее его: $\vec{MN} = -2\vec{ML}$. В координатах это выглядит так: $(x_N - 1, y_N - 5) = -2(x_L - 1, y_L - 5)$ Откуда: $x_N = -2x_L + 3$ $y_N = -2y_L + 15$

2. Точка L лежит на отрезке MN.
В этом случае расстояние $MN$ равно сумме расстояний $ML$ и $LN$: $MN = ML + LN$. Подставив известные значения, получим: $2ML = ML + 10.5$ $ML = 10.5$ Тогда $MN = 2 \cdot ML = 2 \cdot 10.5 = 21$. Этот случай также возможен, так как $ML + LN = 10.5 + 10.5 = 21 = MN$.

В этом случае точка $L$ может быть любой точкой, лежащей на окружности с центром в $M(1, 5)$ и радиусом $R_L = 10.5$. Уравнение этой окружности для координат $L(x_L, y_L)$: $(x_L - 1)^2 + (y_L - 5)^2 = 10.5^2 = 110.25$

Точка $N$ должна лежать на той же прямой, что и $M$ и $L$, причем $L$ находится между $M$ и $N$. Расстояние от $M$ до $N$ равно $21$. Таким образом, точка $N(x_N, y_N)$ лежит на окружности с центром в $M(1, 5)$ и радиусом $R_N = 21$: $(x_N - 1)^2 + (y_N - 5)^2 = 21^2 = 441$

Координаты точки $N$ также однозначно определяются выбором точки $L$. Вектор $\vec{MN}$ сонаправлен вектору $\vec{ML}$ и вдвое длиннее его: $\vec{MN} = 2\vec{ML}$. В координатах это выглядит так: $(x_N - 1, y_N - 5) = 2(x_L - 1, y_L - 5)$ Откуда: $x_N = 2x_L - 1$ $y_N = 2y_L - 5$

3. Точка N лежит на отрезке ML.
В этом случае $ML = MN + NL$. $ML = 2ML + 10.5 \implies -ML = 10.5$. Так как длина отрезка не может быть отрицательной, этот случай невозможен.

Сколько решений имеет задача?
Задача имеет два семейства решений, соответствующих двум возможным конфигурациям точек. В каждом из этих случаев точка $L$ может быть выбрана как любая точка на соответствующей окружности (с радиусом $3.5$ или $10.5$). Поскольку на окружности бесконечно много точек, задача имеет бесконечное число решений.

Ответ: Задача имеет бесконечное множество решений, которые делятся на два случая:
1) Координаты точки $L(x_L, y_L)$ удовлетворяют уравнению $(x_L - 1)^2 + (y_L - 5)^2 = 3.5^2$, а координаты точки $N(x_N, y_N)$ связаны с ними соотношениями $x_N = -2x_L + 3$ и $y_N = -2y_L + 15$.
2) Координаты точки $L(x_L, y_L)$ удовлетворяют уравнению $(x_L - 1)^2 + (y_L - 5)^2 = 10.5^2$, а координаты точки $N(x_N, y_N)$ связаны с ними соотношениями $x_N = 2x_L - 1$ и $y_N = 2y_L - 5$.
Таким образом, задача имеет бесконечно много решений.