Номер 5.41, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Математический язык. Математическая модель. Параграф 5. Координатная прямая - номер 5.41, страница 31.

Условие.

5.41 Дана точка K(-1). Найдите координаты точек P и M таких, что $PM = 8$ и $KP = 3KM$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Пусть координаты точек P и M равны $p$ и $m$ соответственно. Координата точки K равна $k = -1$.

Условие $PM = 8$ означает, что расстояние между точками P и M равно 8. В координатах это записывается как $|p - m| = 8$.

Условие $KP = 3KM$ означает, что расстояние от точки K до точки P в три раза больше расстояния от точки K до точки M. В координатах это выглядит так: $|p - k| = 3|m - k|$.

Подставим известную координату $k = -1$ в это уравнение:

$|p - (-1)| = 3|m - (-1)|$

$|p + 1| = 3|m + 1|$

Таким образом, для нахождения координат точек P и M необходимо решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$$ \begin{cases} |p - m| = 8 \\ |p + 1| = 3|m + 1| \end{cases} $$

Наличие знаков модуля означает, что мы должны рассмотреть все возможные комбинации их раскрытия. Всего существует четыре варианта системы линейных уравнений.

Случай 1. Раскроем оба модуля с положительным знаком: $p - m = 8$ и $p + 1 = 3(m + 1)$.

Из первого уравнения выразим $p$: $p = m + 8$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$(m + 8) + 1 = 3(m + 1)$

$m + 9 = 3m + 3$

$2m = 6$

$m = 3$

Теперь найдем координату точки P: $p = 3 + 8 = 11$.

Первое возможное решение: P(11) и M(3).

Ответ: $P(11), M(3)$.

Случай 2. Раскроем модули следующим образом: $p - m = -8$ и $p + 1 = 3(m + 1)$.

Из первого уравнения $p = m - 8$. Подставим во второе:

$(m - 8) + 1 = 3(m + 1)$

$m - 7 = 3m + 3$

$2m = -10$

$m = -5$

Теперь найдем координату точки P: $p = -5 - 8 = -13$.

Второе возможное решение: P(-13) и M(-5).

Ответ: $P(-13), M(-5)$.

Случай 3. Раскроем модули так: $p - m = 8$ и $p + 1 = -3(m + 1)$.

Из первого уравнения $p = m + 8$. Подставим во второе:

$(m + 8) + 1 = -3(m + 1)$

$m + 9 = -3m - 3$

$4m = -12$

$m = -3$

Теперь найдем координату точки P: $p = -3 + 8 = 5$.

Третье возможное решение: P(5) и M(-3).

Ответ: $P(5), M(-3)$.

Случай 4. Раскроем модули так: $p - m = -8$ и $p + 1 = -3(m + 1)$.

Из первого уравнения $p = m - 8$. Подставим во второе:

$(m - 8) + 1 = -3(m + 1)$

$m - 7 = -3m - 3$

$4m = 4$

$m = 1$

Теперь найдем координату точки P: $p = 1 - 8 = -7$.

Четвертое возможное решение: P(-7) и M(1).

Ответ: $P(-7), M(1)$.