Номер 5.42, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

5.42 а) Изобразите множество точек координатной прямой, расстояние до которых от точки $O(0)$ меньше трёх единичных отрезков.

б) Изобразите множество точек координатной прямой, расстояние до которых от точки $A(a)$ больше двух единичных отрезков.

в) Изобразите множество точек координатной прямой, расстояние до которых от точки $O(0)$ больше трёх единичных отрезков.

г) Изобразите множество точек координатной прямой, расстояние до которых от точки $A(a)$ меньше двух единичных отрезков.

а) Пусть $x$ – координата произвольной точки на координатной прямой. Расстояние от этой точки до точки $O(0)$ определяется как модуль разности их координат, то есть $|x - 0| = |x|$. По условию, это расстояние должно быть меньше трёх единичных отрезков. Запишем это в виде неравенства:

$|x| < 3$

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-3 < x < 3$

Таким образом, искомое множество – это все точки, расположенные между числами -3 и 3. На координатной прямой это открытый интервал, концы которого (-3 и 3) не принадлежат множеству, что на графике обозначается выколотыми точками.

Ответ: Открытый числовой промежуток $(-3; 3)$.

б) Пусть $x$ – координата точки на прямой. Расстояние от неё до точки $A(a)$ равно $|x - a|$. Согласно условию, это расстояние больше двух единичных отрезков. Составим неравенство:

$|x - a| > 2$

Неравенство с модулем вида $|X| > c$ (где $c>0$) равносильно совокупности двух неравенств: $X > c$ или $X < -c$. Применим это правило:

$x - a > 2$ или $x - a < -2$

Решим каждое неравенство относительно $x$:

$x > a + 2$ или $x < a - 2$

Искомое множество точек состоит из двух открытых лучей: все точки, которые находятся правее точки $a + 2$, и все точки, которые находятся левее точки $a - 2$.

Ответ: Объединение промежутков $(-\infty; a - 2) \cup (a + 2; \infty)$.

в) Пусть $x$ – координата искомой точки. Расстояние от точки $x$ до точки $O(0)$ равно $|x|$. По условию, это расстояние больше трёх единичных отрезков, что можно записать как:

$|x| > 3$

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x > 3$ или $x < -3$

Следовательно, множество искомых точек – это все точки координатной прямой, которые либо меньше -3, либо больше 3. Графически это два открытых луча, идущих от выколотых точек -3 влево и от 3 вправо.

Ответ: Объединение промежутков $(-\infty; -3) \cup (3; \infty)$.

г) Пусть $x$ – координата произвольной точки. Расстояние от этой точки до точки $A(a)$ равно $|x - a|$. По условию, это расстояние меньше двух единичных отрезков. Запишем это в виде неравенства:

$|x - a| < 2$

Неравенство с модулем вида $|X| < c$ (где $c>0$) равносильно двойному неравенству $-c < X < c$. Применяя это правило, получаем:

$-2 < x - a < 2$

Чтобы выразить $x$, прибавим $a$ ко всем трём частям неравенства:

$a - 2 < x < a + 2$

Искомое множество точек — это интервал с центром в точке $a$ и радиусом 2. Он включает в себя все точки, лежащие между $a-2$ и $a+2$, не включая сами эти точки.

Ответ: Открытый числовой промежуток $(a - 2; a + 2)$.