Номер 8.3, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

8.3 Является ли заданное уравнение с двумя переменными линейным:

а) $ \frac{x}{3} + y - 5 = 0; $

б) $ \frac{3}{x} + y - 5 = 0; $

в) $ \frac{x - y}{2} + 4 = 0; $

г) $ xy + 3 = 0? $

а)

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида $ax + by + c = 0$, где $x$ и $y$ — переменные, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю.

Рассмотрим заданное уравнение $\frac{x}{3} + y - 5 = 0$.

Его можно переписать в виде $\frac{1}{3}x + 1y - 5 = 0$.

В этом уравнении $a = \frac{1}{3}$, $b = 1$, $c = -5$. Все переменные находятся в первой степени. Следовательно, данное уравнение соответствует виду $ax + by + c = 0$ и является линейным.

Ответ: да.

б)

Рассмотрим уравнение $\frac{3}{x} + y - 5 = 0$.

В этом уравнении переменная $x$ находится в знаменателе, что эквивалентно степени $-1$ (выражение $3x^{-1}$). В линейном уравнении переменные должны быть в первой степени. Если мы попытаемся избавиться от знаменателя, умножив обе части уравнения на $x$ (при условии $x \neq 0$), мы получим $3 + xy - 5x = 0$. Это уравнение содержит член $xy$, который является произведением переменных, что не соответствует стандартному виду линейного уравнения.

Следовательно, данное уравнение не является линейным.

Ответ: нет.

в)

Рассмотрим уравнение $\frac{x - y}{2} + 4 = 0$.

Преобразуем его, разделив числитель на знаменатель:
$\frac{x}{2} - \frac{y}{2} + 4 = 0$
Это можно записать как $\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y + 4 = 0$.

Это уравнение соответствует стандартному виду линейного уравнения $ax + by + c = 0$, где $a = \frac{1}{2}$, $b = -\frac{1}{2}$, $c = 4$.

Следовательно, данное уравнение является линейным.

Ответ: да.

г)

Рассмотрим уравнение $xy + 3 = 0$.

Это уравнение содержит член $xy$, который является произведением двух переменных. Такой член не предусмотрен в стандартной форме линейного уравнения $ax + by + c = 0$. В линейном уравнении переменные могут входить только в первой степени и не могут перемножаться друг с другом.

Следовательно, данное уравнение не является линейным.

Ответ: нет.