Номер 3.11, страница 80 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.11. Для функции: 1) $f(x) = x^2 - 2x + 3$; 2) $f(x) = \frac{x-1}{x+4}$ найдите значения $f(-1)$, $f(0.1)$, $f(0.25)$, $f(1)$ и $f(2)$. Какова область определения функции?

1) Для функции $f(x) = x^2 - 2x + 3$:

Сначала найдем значения функции в заданных точках, подставляя соответствующие значения аргумента $x$ в формулу функции.

$f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6$

$f(0,1) = (0,1)^2 - 2(0,1) + 3 = 0,01 - 0,2 + 3 = 2,81$

$f(0,25) = (0,25)^2 - 2(0,25) + 3 = 0,0625 - 0,5 + 3 = 2,5625$

$f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$

$f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 + 3 = 4 - 4 + 3 = 3$

Теперь определим область определения функции. Функция $f(x) = x^2 - 2x + 3$ является многочленом (квадратичной функцией). Вычисление значения этой функции возможно для любого действительного числа $x$, так как нет операций, имеющих ограничения (например, деление на ноль или извлечение корня из отрицательного числа). Поэтому область определения этой функции — все действительные числа.

Ответ: $f(-1)=6$; $f(0,1)=2,81$; $f(0,25)=2,5625$; $f(1)=2$; $f(2)=3$. Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = \frac{x-1}{x+4}$:

Сначала найдем значения функции в заданных точках.

$f(-1) = \frac{-1-1}{-1+4} = \frac{-2}{3}$

$f(0,1) = \frac{0,1-1}{0,1+4} = \frac{-0,9}{4,1} = -\frac{9}{41}$

$f(0,25) = \frac{0,25-1}{0,25+4} = \frac{-0,75}{4,25} = -\frac{75}{425} = -\frac{3 \cdot 25}{17 \cdot 25} = -\frac{3}{17}$

$f(1) = \frac{1-1}{1+4} = \frac{0}{5} = 0$

$f(2) = \frac{2-1}{2+4} = \frac{1}{6}$

Теперь определим область определения функции. Функция $f(x) = \frac{x-1}{x+4}$ является дробно-рациональной. Единственное ограничение для таких функций — знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x+4=0$, откуда $x=-4$. Это значение необходимо исключить из области определения. Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=-4$.

Ответ: $f(-1)=-\frac{2}{3}$; $f(0,1)=-\frac{9}{41}$; $f(0,25)=-\frac{3}{17}$; $f(1)=0$; $f(2)=\frac{1}{6}$. Область определения: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.