Номер 3.18, страница 81 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.18*. Дана функция $y = \frac{2}{x-3} + 4$.

1) Найдите область определения функции.

2) В заданной функциональной зависимости выразите переменную $\text{x}$ через $\text{y}$.

3) В полученном выражении найдите все возможные значения переменной$\text{y}$. Можно ли найденное множество значений $\text{y}$ принимать как множество значений исходной функции? Обоснуйте ответ.

1) Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение для функции имеет смысл. В данном случае функция $y = \frac{2}{x-3} + 4$ содержит дробь, в знаменателе которой находится переменная. Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Поэтому, $x-3 \neq 0$.

Решим уравнение:

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Таким образом, функция не определена при $x=3$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме 3.

Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$

2) Чтобы выразить переменную $x$ через $y$, необходимо решить уравнение $y = \frac{2}{x-3} + 4$ относительно $x$.

Перенесем 4 в левую часть уравнения:

$y - 4 = \frac{2}{x-3}$

Теперь выразим знаменатель $x-3$. Для этого можно поменять местами левую часть $y-4$ и знаменатель $x-3$. Это возможно, так как из области определения $x-3 \neq 0$ и, следовательно, $y-4 \neq 0$.

$x - 3 = \frac{2}{y-4}$

Перенесем -3 в правую часть уравнения:

$x = \frac{2}{y-4} + 3$

Ответ: $x = \frac{2}{y-4} + 3$.

3) В полученном выражении $x = \frac{2}{y-4} + 3$ найдем все возможные значения переменной $y$. Это выражение определено для всех значений $y$, при которых знаменатель $y-4$ не равен нулю.

Найдем значение $y$, при котором знаменатель обращается в ноль:

$y - 4 = 0$

$y = 4$

Следовательно, переменная $y$ может принимать любые действительные значения, кроме 4. Множество возможных значений $y$ есть $(-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

Да, найденное множество значений $y$ можно принимать как множество значений исходной функции.

Обоснование:

Множество значений функции — это множество всех значений, которые может принимать функция $y$ при всех допустимых значениях аргумента $x$. Выражение $x = \frac{2}{y-4} + 3$ задает функцию, обратную к исходной. Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции. Мы нашли, что область определения функции $x(y)$ — это все действительные числа, кроме $y=4$.

Это означает, что для любого значения $y \neq 4$ мы можем найти такое значение $x$ из области определения исходной функции, что $y = \frac{2}{x-3} + 4$. Если предположить, что $y$ может равняться 4, то получим:

$4 = \frac{2}{x-3} + 4$

$0 = \frac{2}{x-3}$

Это уравнение не имеет решений, так как дробь равна нулю только когда числитель равен нулю, а в данном случае он равен 2. Это доказывает, что значение $y=4$ недостижимо. Таким образом, множество значений исходной функции — это все действительные числа, кроме 4.

Ответ: Множество возможных значений $y$ — $(-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$. Да, это множество является множеством значений исходной функции, так как оно представляет собой область определения обратной функции, которая, по определению, совпадает с областью значений исходной функции.