Номер 3.22, страница 81 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.22. Разложите многочлен на множители:

1) $a^2c + b^2c - a^2d - b^2d + d - c;$

2) $x^2 + 7x + 10.$

1) Для разложения многочлена $a^2c + b^2c - a^2d - b^2d + d - c$ на множители применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(a^2c - a^2d) + (b^2c - b^2d) + (d - c)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. В последней группе вынесем $-1$, чтобы получить выражение $(c - d)$, так как $d - c = -(c - d)$:

$a^2(c - d) + b^2(c - d) - (c - d)$

Теперь мы видим, что все три слагаемых имеют общий множитель $(c - d)$. Вынесем его за скобки:

$(c - d)(a^2 + b^2 - 1)$

Таким образом, мы разложили исходный многочлен на множители.

Ответ: $(c - d)(a^2 + b^2 - 1)$.

2) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен вида $x^2+px+q$, нужно найти два числа $m$ и $n$, такие что их сумма $m+n=p$, а произведение $m \cdot n = q$. В этом случае разложение будет иметь вид $(x+m)(x+n)$.

Для многочлена $x^2 + 7x + 10$ имеем $p=7$ и $q=10$. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна $7$, а произведение $10$.

Методом подбора находим, что такими числами являются $2$ и $5$, поскольку $2 + 5 = 7$ и $2 \cdot 5 = 10$.

Следовательно, разложение на множители имеет вид:

$x^2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)$

Этот результат также можно получить, представив средний член $7x$ как $2x+5x$ и сгруппировав слагаемые:

$x^2 + 7x + 10 = x^2 + 2x + 5x + 10 = (x^2 + 2x) + (5x + 10) = x(x+2) + 5(x+2) = (x+2)(x+5)$

Ответ: $(x + 2)(x + 5)$.