Номер 3.17, страница 81 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.17. Если известно, что аргумент функции $y = f(x)$ может принимать значения от $-2$ до $\text{7}$ включительно, найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$;

2) $f(x) = \frac{2x+1}{x-4}$.

1) По условию, аргумент некоторой функции $f$ может принимать значения от $-2$ до $7$ включительно. В данном случае мы имеем дело с новой функцией, где аргументом для $f$ является выражение $\frac{x-1}{x+1}$. Чтобы найти область определения этой новой функции, нужно найти все значения $x$, при которых выражение $\frac{x-1}{x+1}$ определено и его значение попадает в промежуток $[-2, 7]$.

Это условие можно записать в виде двойного неравенства:

$-2 \le \frac{x-1}{x+1} \le 7$

Также необходимо учесть, что знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x+1 \ne 0$, то есть $x \ne -1$.

Решим систему из двух неравенств:

1. $\frac{x-1}{x+1} \ge -2$

2. $\frac{x-1}{x+1} \le 7$

Решаем первое неравенство:

$\frac{x-1}{x+1} + 2 \ge 0$

$\frac{x-1+2(x+1)}{x+1} \ge 0$

$\frac{x-1+2x+2}{x+1} \ge 0$

$\frac{3x+1}{x+1} \ge 0$

Методом интервалов находим, что решение этого неравенства есть $x \in (-\infty, -1) \cup [-1/3, +\infty)$.

Решаем второе неравенство:

$\frac{x-1}{x+1} - 7 \le 0$

$\frac{x-1-7(x+1)}{x+1} \le 0$

$\frac{x-1-7x-7}{x+1} \le 0$

$\frac{-6x-8}{x+1} \le 0$

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства:

$\frac{6x+8}{x+1} \ge 0$

Методом интервалов находим, что решение этого неравенства есть $x \in (-\infty, -4/3] \cup (-1, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty, -1) \cup [-1/3, +\infty)$ и $(-\infty, -4/3] \cup (-1, +\infty)$.

Пересечением этих множеств является $(-\infty, -4/3] \cup [-1/3, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -4/3] \cup [-1/3, +\infty)$.

2) Аналогично первому пункту, аргумент функции $f$, которым в данном случае является выражение $\frac{2x+1}{x-4}$, должен принимать значения из отрезка $[-2, 7]$.

Запишем соответствующее двойное неравенство:

$-2 \le \frac{2x+1}{x-4} \le 7$

При этом знаменатель не должен быть равен нулю: $x-4 \ne 0$, то есть $x \ne 4$.

Решим систему из двух неравенств:

1. $\frac{2x+1}{x-4} \ge -2$

2. $\frac{2x+1}{x-4} \le 7$

Решаем первое неравенство:

$\frac{2x+1}{x-4} + 2 \ge 0$

$\frac{2x+1+2(x-4)}{x-4} \ge 0$

$\frac{2x+1+2x-8}{x-4} \ge 0$

$\frac{4x-7}{x-4} \ge 0$

Методом интервалов получаем решение: $x \in (-\infty, 7/4] \cup (4, +\infty)$.

Решаем второе неравенство:

$\frac{2x+1}{x-4} - 7 \le 0$

$\frac{2x+1-7(x-4)}{x-4} \le 0$

$\frac{2x+1-7x+28}{x-4} \le 0$

$\frac{-5x+29}{x-4} \le 0$

Умножим на $-1$ и сменим знак:

$\frac{5x-29}{x-4} \ge 0$

Методом интервалов получаем решение: $x \in (-\infty, 4) \cup [29/5, +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $((-\infty, 7/4] \cup (4, +\infty)) \cap ((-\infty, 4) \cup [29/5, +\infty))$.

Пересечением является множество $(-\infty, 7/4] \cup [29/5, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, 7/4] \cup [29/5, +\infty)$.