Номер 3.23, страница 81 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.23. Ширина прямоугольника в 2 раза меньше его длины. Если ширину увеличить на 2 см, а длину уменьшить на 2 см, то площадь прямоугольника увеличится на $2 \text{ см}^2$. Найдите измерения прямоугольника?

Пусть ширина прямоугольника равна $x$ см. Согласно условию, она в 2 раза меньше длины, значит, длина равна $2x$ см. Первоначальная площадь прямоугольника ($S_1$) составляет $S_1 = x \cdot 2x = 2x^2$ см².

После изменений ширина станет $(x + 2)$ см, а длина — $(2x - 2)$ см. Новая площадь ($S_2$) будет равна $S_2 = (x + 2)(2x - 2)$ см².

По условию задачи, новая площадь на 2 см² больше исходной: $S_2 = S_1 + 2$. Составим и решим уравнение:

$(x + 2)(2x - 2) = 2x^2 + 2$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$2x^2 - 2x + 4x - 4 = 2x^2 + 2$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 2x - 4 = 2x^2 + 2$

Сократим $2x^2$ в обеих частях уравнения:

$2x - 4 = 2$

Перенесем $-4$ в правую часть:

$2x = 2 + 4$

$2x = 6$

Найдем $x$:

$x = \frac{6}{2} = 3$

Следовательно, ширина исходного прямоугольника равна 3 см.

Длина исходного прямоугольника равна $2x = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Ответ: ширина прямоугольника 3 см, длина 6 см.