Номер 3.16, страница 80 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.16. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{1}{x-3} + \frac{2}{x+3}$;

2) $f(x) = \frac{2x+1}{(x-1)(x+4)}$.

1) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x-3} + \frac{2}{x+3}$.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция представляет собой сумму двух дробей. Выражение, содержащее дробь, определено только тогда, когда его знаменатель не равен нулю.

Для первой дроби $\frac{1}{x-3}$ знаменатель $x-3$ не должен быть равен нулю:

$x-3 \neq 0$, что означает $x \neq 3$.

Для второй дроби $\frac{2}{x+3}$ знаменатель $x+3$ не должен быть равен нулю:

$x+3 \neq 0$, что означает $x \neq -3$.

Следовательно, функция определена для всех действительных чисел $x$, за исключением тех, которые обращают в ноль хотя бы один из знаменателей. Такими числами являются $x = 3$ и $x = -3$.

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме -3 и 3.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{2x+1}{(x-1)(x+4)}$.

Эта функция является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых её знаменатель не обращается в ноль.

Знаменатель дроби равен $(x-1)(x+4)$. Чтобы найти недопустимые значения $x$, нужно исключить те значения, которые обращают знаменатель в ноль. Запишем условие:

$(x-1)(x+4) \neq 0$.

Произведение не равно нулю, если каждый из сомножителей не равен нулю. Поэтому мы имеем систему условий:

$x-1 \neq 0$

$x+4 \neq 0$

Решая эти неравенства, находим:

$x \neq 1$

$x \neq -4$

Эти два значения $x$ не входят в область определения функции. Все остальные действительные числа допустимы.

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме -4 и 1.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 1) \cup (1; +\infty)$.