Номер 3.15, страница 80 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.15. Найдите область определения функции и запишите ее в виде числового промежутка:

1) $f(x) = \frac{3x + 4}{2x - 3}$;

2) $f(x) = \frac{1 - x}{x^2 + 1}$;

3) $f(x) = \frac{2x}{x^2 - 4}$.

1) Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Данная функция представляет собой дробь. Основное ограничение для дробей — знаменатель не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$2x - 3 = 0$

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2}$

$x = 1.5$

Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x = 1.5$. Запишем это в виде числового промежутка.

Ответ: $(-\infty; 1.5) \cup (1.5; +\infty)$

2) Знаменатель дроби $x^2 + 1$ не должен быть равен нулю. Рассмотрим выражение в знаменателе. Квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, выражение $x^2 + 1$ всегда будет больше или равно 1 ($x^2 + 1 \ge 1$). Это означает, что знаменатель никогда не обращается в ноль ни при каких значениях $x$. Поэтому ограничений на область определения нет.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$

3) Знаменатель дроби $x^2 - 4$ не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.

$x^2 - 4 = 0$

Используем формулу разности квадратов: $(x-2)(x+2) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$

$x = 2$ или $x = -2$

Следовательно, область определения функции включает все действительные числа, кроме $x = -2$ и $x = 2$. Запишем это в виде объединения числовых промежутков.

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$