Номер 3.21, страница 81 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.21. Какой цифрой может оканчиваться 5-я степень натурального числа? Обоснуйте ответ.

Для того чтобы определить, какой цифрой может оканчиваться 5-я степень натурального числа, необходимо проанализировать последнюю цифру результата возведения в степень. Последняя цифра степени $n^5$ зависит исключительно от последней цифры самого натурального числа $n$.

Рассмотрим все возможные последние цифры числа $n$ (от 0 до 9) и найдем, какой будет последняя цифра соответствующей 5-й степени.

• Если число оканчивается на 0, то его 5-я степень оканчивается на 0 (например, $10^5 = 100000$).
• Если число оканчивается на 1, то его 5-я степень оканчивается на 1 (например, $1^5 = 1$, $11^5 = 161051$).
• Если число оканчивается на 2, то его 5-я степень оканчивается на 2 ($2^5 = 32$).
• Если число оканчивается на 3, то его 5-я степень оканчивается на 3 ($3^5 = 243$).
• Если число оканчивается на 4, то его 5-я степень оканчивается на 4 ($4^5 = 1024$).
• Если число оканчивается на 5, то его 5-я степень оканчивается на 5 ($5^5 = 3125$).
• Если число оканчивается на 6, то его 5-я степень оканчивается на 6 ($6^5 = 7776$).
• Если число оканчивается на 7, то его 5-я степень оканчивается на 7 ($7^5 = 16807$).
• Если число оканчивается на 8, то его 5-я степень оканчивается на 8 ($8^5 = 32768$).
• Если число оканчивается на 9, то его 5-я степень оканчивается на 9 ($9^5 = 59049$).

Из приведенных примеров видно, что последняя цифра 5-й степени натурального числа всегда совпадает с последней цифрой самого числа.

Это наблюдение можно строго обосновать с помощью Малой теоремы Ферма. Согласно этой теореме, для любого целого числа $n$ и простого числа $p$ выполняется сравнение $n^p \equiv n \pmod{p}$.

Применим теорему для $p=5$: $n^5 \equiv n \pmod{5}$. Это означает, что разность $n^5 - n$ всегда делится на 5.

Также применим теорему для $p=2$: $n^2 \equiv n \pmod{2}$. Отсюда следует, что $n^5 - n = n(n^4-1) = n(n^2-1)(n^2+1)$. Так как $n$ и $n^2$ имеют одинаковую четность, то $n^2 \equiv n \pmod{2}$, и, следовательно, $n^5 = n \cdot n^4 \equiv n \cdot n^2 \equiv n \cdot n = n^2 \equiv n \pmod{2}$. Таким образом, разность $n^5 - n$ всегда делится и на 2.

Поскольку $n^5 - n$ делится на 2 и на 5 (которые являются взаимно простыми числами), то эта разность делится и на их произведение, то есть на 10. Сравнение $n^5 - n \equiv 0 \pmod{10}$, или $n^5 \equiv n \pmod{10}$, означает, что числа $n^5$ и $n$ имеют одинаковую последнюю цифру.

Так как натуральное число может оканчиваться на любую цифру от 0 до 9, то и его 5-я степень может оканчиваться на любую из этих цифр.

Ответ: 5-я степень натурального числа может оканчиваться любой цифрой от 0 до 9.